LIBRO VI
Def.3: Una retta è detta secata in rapporto estremo e medio quando la retta totale sta al segmento maggiore, come il maggiore al minore
Questa definizione introduce la famosa sezione aurea.
Se si assume come 1 la lunghezza del segmento e x la lunghezza della parte maggiore, allora, dalla definizione, si ha
\(1:x = x:(1-x)\)
da cui si ottiene che
\(x^2 = 1-x\)
(L'area) del quadrato sulla parte maggiore è uguale all'(area) del rettangolo avente per lati l'intero segmento e la parte minore.
Se vediamo la relazione come equazione, essa dà come soluzione positiva un numero irrazionale.
La sezione aurea di un segmento è il lato del decagono regolare di raggio uguale al segmento. Essa è legata alla geometria del pentagono regolare, rappresentando il rapporto tra la diagonale ed il lato. Due diagonali, uscenti da uno stesso vertice, e il lato opposto a tale vertice, formano il triangolo aureo, avente gli angoli alla base doppi dell'angolo al vertice (la costruzione di questo triangolo aureo è alla base della costruzione del pentagono regolare inscritto, Prop.4-10 e Prop.4-11.
La sezione aurea è legata alla serie di Fibonacci (1,1,2,3,5,8,13,21,34,...) poiché la serie dei rapporti tra ogni termine successivo e il precedente tende al valore irrazionale che descrive il rapporto aureo.
La costruzione con Geogebra: