LIBRO VI
Prop.30: Secare la retta limitata data in rapporto estremo e medio
Dimostrazione
Sia AB la retta limitata data: si deve pertanto secare la retta AB in rapporto estremo e medio.
Si descriva il quadrato BC su AB (Prop.1-46). Si applichi il parallelogrammo CD ad AC uguale alla somma di BC e della figura AD simile a BC (Prop.6-29).
E BC è un quadrato, pertanto anche AD è un quadrato. E poiché BC è uguale a CD, si sottragga CE da entrambi; BF restante è quindi uguale ad AD restante. Ma è anche equiangolo allo stesso; pertanto in BF e AD i lati intorno agli angoli uguali sono in relazione inversa. FE sta quindi a ED come AE sta a EB (Prop.6-14).
Ma FE è uguale ad AB, e ED è uguale ad AE. AB sta quindi ad AE come AE sta a EB (Prop.5-7). E AB è maggiore di AE, quindi anche AE è maggiore di EB.
La retta data risulta quindi secata in rapporto estremo e medio secondo E, e il suo segmento maggiore è AE.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB
- Poligono regolare: disegna il quadrato BC su AB
- Circonferenza di raggio dato: disegna la circonferenza di centro A e raggio uguale ad AB per la semi differenza tra la radice di 5 e 1. Tale circonferenza interseca AB in E
- Poligono Regolare: disegna il quadrato AD su AE
- Parallela: completa il parallelogrammo CD
La costruzione qui introdotta seca una linea in due parti A e B in modo che
\((A+B):B = B:A\)
Per la Prop.6-17, questa condizione equivale a porre l'area del rettangolo di lati \(A+B\) e A uguale all'area del quadrato di lato B.
Questa costruzione è utilizzata nel Libro XIII.