LIBRO VI
Prop.17: Se tre rette sono in proporzione, allora il rettangolo compreso dagli estremi è uguale al quadrato sul medio; e, se il rettangolo compreso dagli estremi è uguale al quadrato sul medio, allora le tre rette sono in proporzione
Dimostrazione
Siano tre rette A, B, C in proporzione, così che A sta a B come B sta a C: dico che il rettangolo A per C è uguale al quadrato su B.
Si prenda D uguale a B (Prop.1-3).
E poiché A sta a B come B sta a C, e B è uguale a D (Prop.5-7), allora A sta a B come D sta a C (Prop.5-11). Ma se quattro rette sono in proporzione, allora il rettagolo compreso dagli estremi è uguale al rettangolo compreso dai medi (Prop.6-16). Il rettangolo A per C è quindi uguale al rettangolo B per D. Ma il rettangolo B per D è il quadrato su B, essendo B uguale a D, allora il rettangolo A per C è uguale al quadrato su B.
Sia ora il rettangolo A per C uguale al quadrato su B: dico che A sta a B come B sta a C.
Con la stessa costruzione, poiché il rettangolo A per C è uguale al quadrato su B, e il quadrato su B sta al rettangolo B per D, essendo B uguale a D, allora il rettangolo A per C è uguale al rettangolo B per D. Ma se il rettangolo compreso dagli estremi è uguale a quello compreso dai medi, allora le quattro rette sono in proporzione (Prop.6-14).
A sta quindi a B come D sta a C. Ma B è uguale a D, quindi A sta a B come B sta a C.
Se quindi tre rette sono in proporzione, allora il rettangolo compreso dagli estremi è uguale al quadrato sul medio; e, se il rettangolo compreso dagli estremi è uguale al quadrato sul medio, allora le tre rette sono in proporzione.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna tre rette aventi su di esse rispettivamente i punti A, B, C
- Segmento: disegna i segmenti A, B
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro C e raggio uguale a BxB/A che determina con l'intersezione il segmento C
- Compasso: disegna il segmento D uguale a B
Questa è la nostra proporzione continua e può essere usata per costruire geometricamente la radice quadrata di un numero. Essa è un caso particolare della precedente ed è molto usata nei Libri X e XIII.