LIBRO VI
Prop.18: Descrivere sulla retta data una figura rettilinea sia simile sia posta similmente alla figura rettilinea data
Dimostrazione
Sia AB la retta data e CE la figura rettilinea data: si deve pertanto descrivere sulla retta AB una figura rettilinea sia simile sia posta similmente alla figura rettilinea CE.
Si congiunga DF. Si costruisca l'angolo GAB uguale all'angolo in C, e l'angolo ABG uguale all'angolo CDF, sulla retta AB e sui punti A e B su di essa (Prop.1-23). Pertanto l'angolo restante CFD è uguale all'angolo AGB (Prop.1-32). Pertanto il triangolo FCD è equiangolo al triangolo GAB.
In proporzione quindi, FD sta a GB come FC sta a GA (Prop.6-4), e come CD sta a AB (Prop.6.16).
Di nuovo, si costruisca l'angolo BGH uguale all'angolo DFE, e l'angolo GBH uguale all'angolo FDE, sulla retta BG e sui punti B e G su di essa (Prop.1-23).
Pertanto l'angolo restante in E è uguale all'angolo restante in H. Il triangolo FDE è quindi equiangolo al triangolo GBH (Prop.1-32). In proporzione quindi, FD sta a GB come FE sta a GH (Prop.6-4), e come ED sta a HB (Prop.6.16).
Ma è stato anche dimostrato che FD sta a GB come FC sta a GA, e come CD sta a AB. FC sta quindi a AG come CD sta a AB, e come FE sta a GH, e inoltre come ED sta a HB (Prop.5-11).
E poichè l'angolo CFD è uguale all'angolo AGB, e l'angolo DFE è uguale all'angolo BGH, allora l'angolo CFE totale è uguale all'angolo AGH totale. Per gli stessi motivi anche l'angolo CDE è uguale all'angolo ABH. E anche l'angolo in C è uguale all'angolo in A, e l'angolo in E è uguale all'angolo in H.
AH è quindi equiangolo a CE, ed essi hanno i lati intorno ai loro angoli uguali proporzionali. La figura rettilinea data AH è quindi simile alla figura rettiline CE.
Risulta quindi sulla retta data AB una figura rettilinea data CE.
La costruzione con GeoGebra:
- Poligono: disegna il poligono CDEF
- Segmento: disegna il segmento AB e congiungi DE
- Angolo di data misura: disegna l'angolo BAG = DCF e ABG = CDF
- Semiretta: disegna le semirette che completano il secondo lato degli angoli; si incontrano in G
- Poligono: disegna il triangolo ABG
- ripeti le costruzioni dei punti 3-4-5 e disegna il triangolo BGH
Questa proposizione è usata nelle successive dimostrazioni del Libro VI.