LIBRO VI
Prop.16: Se quattro rette sono in proporzione, allora il rettangolo compreso dagli estremi uguali è uguale al rettangolo compreso dai medi; e, se il rettangolo compreso dagli estremi uguali è uguale al rettangolo compreso dai medi, allora le quattro rette sono in proporzione
Dimostrazione
Siano quattro rette AB, CD, E, F in proporzione, così che AB sta a CD come E sta a F: dico che il rettangolo AB per F è uguale al rettangolo CD per E.
Si conducano AG e CH dai punti A e C ad angoli retti con le rette AB e CD (Prop.1-11), e si prenda AG uguale a F, e CH uguale ad E (Prop.1-3). Si completino i parallelogrammi BG e DH (Prop.1-31).
E poiché AB sta a CD come E sta a F, ed E è uguale a CH, e F è uguale a AG, allora AB sta a CD come CH sta a AG (Prop.5-7). Nei parallelogrammi BG e DH i lati intorno agli angoli uguali sono quindi in relazione inversa.
E i parallelogrammi equiangoli i cui lati intorno agli angoli uguali sono in relazione inversa sono uguali (Prop.6-14), pertanto il parallelogrammo BG è uguale al parallelogrammo DH. E BG è il rettangolo AB per F, AG è infatti uguale a F, e DH è il rettangolo CD per E, E è infatti uguale a CH; pertanto il rettangolo AB per F è uguale al rettangolo CD per E.
E ora sia il rettangolo AB per F uguale al rettangolo CD per E: dico che le quattro rette sono in proporzione, così che AB sta a CD come E sta a F.
Con la stessa costruzione, poiché il rettangolo AB per F è uguale al rettangolo CD per E, e il rettangolo AB per F è BG, AG è infatti uguale a F, e il rettangolo CD per E è DH, CH è infatti uguale a E, allora BG è uguale a DH. Ed essi sono equiangoli. Ma in parallelogrammi uguali e equiangoli i lati intorno agli angoli uguali sono in relazione inversa (Prop.6-14).
Pertanto AB sta a CD come CH sta a AG (Prop.5-7). Ma CH è uguale ad E, e AG a F, pertanto AB sta a CD come E sta a F.
Se quindi quattro rette sono in proporzione, allora il rettangolo compreso dagli estremi uguali è uguale al rettangolo compreso dai medi; e, se il rettangolo compreso dagli estremi uguali è uguale al rettangolo compreso dai medi, allora le quattro rette sono in proporzione.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AB, CD, E, F
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare ad AB in A e la perpendicolare a CD in C
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro A e raggio F che interseca la perpendicolare in G
e la circonferenza di centro C e raggio E che interseca la perpendicolare in H- Parallela: disegna la parallela ad AB per G e quella a CD per H
- Poligono: disegna i parallelogrammi BG e DH
Questa è la nota proprietà fondamentale delle proporzioni, che afferma che quattro grandezze sono in proporzione se il prodotto dei medi è uguali al prodotto degli estremi.
Questa dimostrazione è usata in alcune occasioni nel Libro X.