LIBRO VI
Prop.14: Nei parallelogrammi sia uguali sia equiangoli, i lati intorno agli angoli uguali sono in relazione inversa; e i parallelogrammi, nei quali i lati intorno agli angoli uguali sono in relazione inversa, sono uguali
Dimostrazione
Siano AB e BC due parallelogrammi sia uguali che equiangoli, aventi uguali gli angoli su B e siano DB e BE poste in linea retta; sono quindi in linea retta anche FB e BG (Prop.1-14): dico che in AB e BC, i lati intorno agli angoli uguali sono in relazione inversa, cioè, DB sta a BE come BG sta a BF.
Si completi il parallelogrammo FE (Prop.1-31).
Poiché il parallelogrammo AB è uguale al parallelogrammo BC, e FE è un altro parallelogrammo, allora AB sta a FE come BC sta a FE (Prop.5-7). Ma AB sta a FE come DB sta a BE, e BC sta a FE come BG sta a BF. DB sta quindi a BE come BG sta a BF (Prop.5-11). Nei parallelogrammi AB e BC i lati intorno agli angoli uguali sono quindi in relazione inversa.
Ma ora DB stia a BE come BG a BF: dico che il parallelogrammo AB è uguale al parallelogrammo BC.
Poiché DB sta a BE come BG sta a BF, mentre DB sta a BE come il parallelogrammo AB sta al parallelogrammo FE, e, BG sta a BF come il parallelogrammo BC sta al parallelogrammo FE, anche AB sta quindi a FE come BC sta a FE (Prop.5-11). Il parallelogrammo AB è quindi uguale al parallelogrammo BC.
Nei parallelogrammi sia uguali sia equiangoli, i lati intorno agli angoli uguali sono quindi in relazione inversa; e i parallelogrammi, nei quali i lati intorno agli angoli uguali sono in relazione inversa, sono uguali.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna la retta FB
- Parallela: disegna la parallela a FB per un punto esterno A
- Segmento: congiungi FA e fissa un segmento FB
- Parallela: disegna la parallela a FA per il punto B che interseca in D
- Poligono: disegna parallelogrammo AB
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro B e raggio FA che interseca la retta FB in G e la circonferenza di centro B e raggio FB che interseca la parallela BD in E
- Parallela: disegna la parallela a EC per il punto E alla retta FB
- Poligono: disegna il parallelogrammo BC
Questa dimostrazione è usata nelle Prop.6-16 e nella Prop.6-30.