LIBRO VI
Prop.13: Trovare una media proporzionale di due rette date
Dimostrazione
Siano AB e BC le due rette date: si deve pertanto trovare una media proporzionale di AB e BC.
Siano poste in linea retta e si tracci un semicerchio ADC su AC. Si conduca BD dal punto B ad angoli retti alla retta AC (Prop.1-11), e si congiungano AD e DC.
Poiché l'angolo ADC è un angolo in un semicerchio, è retto (Prop.3-31).
E poiché nel triangolo rettangolo ADC, BD è stata condotta dall'angolo retto perpendicolarmente alla base, allora BD è media proporzionale tra i segmenti della base, AB e BC (Prop.6-8-Cor).
Di due rette date AB, BC risulta quindi trovata una media proporzionale DB.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento BC
- Semicirconferenza per due punti: disegna la semicirconferenza BC
- Poligono: disegna il triangolo rettangolo ABC con A sulla semicirconferenza
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare AD alla base BC
Questa construzione è già stata usata nella Prop.2-4 per ottenere un quadrato uguale ad un rettangolo dato. Il medio proporzionale tra due linee è il lato del quadrato uguale al rettangolo avente per dimensioni le due linee.
Algebraicamente
\(a:x = x:b\) se e solo se \(ab = x^2\).
Ne segue che, per la proprietà delle proporzioni, \(x\) è la radice quadrata di \(ab\). Se \(b\) è preso uguale a 1, allora la costruzione dà la radice quadrata di \(a\).
Questa costruzione è usta nelle Prop.6-25.