Elementi di Euclide

Prop.23: I parallelogrammi equiangoli tra loro hanno come rapporto quello composto dai rapporti dei lati

Dimostrazione

Siano AC e CF parallelogrammi equiangoli aventi l'angolo BCD uguale all'angolo ECG: dico che il parallelogrammo AC ha con il parallelogrammo CF un rapporto composto rispetto a quello dei lati.

Sia stato posto BC in modo da essere in linea retta con CG (Prop1.-14). Si completi il parallelogrammo DG (Prop.1-31). Si fissi una retta K, e si faccia in modo che BC stia a CG come K sta a L, e DC stia a CE come L a M (Prop.6-12). Allora i rapporti tra K e L e tra L e M sono gli stessi dei rapporti tra i lati, cioè di BC con CG e di DC con CE.

Ma il rapporto di K con M è composto sia dal rapporto tra K e L sia da quello tra L e M, così che anche K ha con M il rapporto composto di quello dei lati. Ora, poiché BC sta a CG come il parallelogrammo AC sta al parallelogrammo CH, e BC sta a CG come K sta a L, allora K sta a L come AC sta a CH. Di nuovo, poiché DC sta a CE come il parallelogrammo CH sta a CF, e DC sta a CE come L sta a M, allora L sta a M come parallelogrammo CH sta al parallelogrammo CF (Prop.6-1 e Prop.6-11).

Poiché dunque è stato dimostrato che K sta a L come il parallelogrammo AC sta al parallelogrammo CH, e L sta a M come il parallelogrammo CH sta al parallelogrammo CF, pertanto, tramite uguale, K sta a M come AC sta al parallelogrammo CF (Prop.5-11).

Ma K ha con M il rapporto composto dai rapporti tra i lati; anche AC ha quindi con CF il rapporto composto dai rapporti dei lati.

I parallelogrammi equiangoli tra loro hanno quindi come rapporto quello composto dai rapporti dei lati.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna due rette BG e DE che si intersecano in C
• Segmento: disegna i segmenti BC, CG sulla prima retta e CD e CE sulla seconda
• Parallela: completa i parallelogrammi BD, CH e EG
• Segmento: disegna il segmento K
• Punto: segna i punti L e M
• Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro L e raggio CGxK/BC e la circonferenza di centro M e raggio CExL/CD

Questa proposizione è una generalizzazione della formula dell'area di un rettangolo, secondo la quale, l'area è il prodotto della misura della base per quella dell'altezza. Euclide non usa unità di misura di lunghezza o di area, ed esprime, pertanto, questa formula tramite una proporzione.

Noi diremmo che il rapporto tra l'area di un dato rettangolo e quella di un dato quadrato è il prodotto dei rapporti tra le lunghezze dei lati del rettangolo per la lunghezza del lato del quadrato.

Una ulteriore generalizzazione esprime il rapporto tra un parallelogrammo e un altro parallelogrammo avente gli stessi angoli. Questa è la generalizzazione espressa nel teorema.

Questa proposizione non è più usata negli Elementi.