Elementi di Euclide

Prop.12: Trovare una quarta proporzionale di tre rette date

Dimostrazione

Siano A, B, C le tre rette date: si deve pertanto trovare una quarta proporzionale di A, B, C.

Si fissino due rette DE e DF che comprendono un angolo come capita EDF. Si prenda DG uguale ad A, GE uguale a B, e DH uguale a C (Prop.1-3). Si congiunga GH, e si conduca EF per E parallela ad essa (Prop.1-31).

E poiché GH è parallela al lato EF del triangolo DEF, allora DG sta a GE come DH sta a HF (Prop.6-2). Ma DG è uguale ad A e GE a B, e DH a C, A sta quindi a B come C sta a HF (Prop.5-7).

Di tre rette date risulta quindi trovata una quarta proporzionale, HF.

La costruzione con GeoGebra:

• Segmento: disegna tre segmenti A, B, C
• Semiretta: disegna due semirette AE e DF con vertice comune D
• Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro D e raggio A che interseca la semiretta DE in G e la circonferenza di centro G e raggio B che interseca DE in E
• Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro D e raggio C che interseca la semiretta DF in H
• Segmento: congiungi GH
• Parallela: traccia la parallela a GH per E che interseca la semiretta DG in F, GF è la quarta proporzionale

Questa proposizione è un caso più generale della precedente, che può esservi compresa. Questa è la costruzione geometrica del quarto proporzionale, calcolato algebricamente tramite la proprietà fondamentale delle proporzioni, cioè

\(a:b = c:x\) allora, con x estremo si ha \(x = bc/a\)