Elementi di Euclide

Prop.11: Trovare una terza proporzionale di due rette date

Dimostrazione

Siano AB e AC le due rette date, e siano poste in modo da comprendere un angolo come capita: si deve pertanto trovare un terzo proporzionale di AB e AC.

Si prolunghino fino a D ed E, e si prenda BD uguale ad AC (Prop.1-3). Si congiunga BC, e si conduca DE per D parallela ad essa (Prop.1-31).

E poiché BC è parallela al lato DE del triangolo ADE, allora, in proporzione, AB sta a BD come AC sta a CE (Prop.6-2). Ma BD è uguale a AC, AB sta quindi a AC come AC sta a CE (Prop.5-7).

Di due rette date risulta quindi trovata una terza proporzionale, CE, ad esse.

La costruzione con GeoGebra:

• Semiretta: disegna le semirette AB e AC di origine comune A, formanti un angolo qualsiasi
• Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro B e raggio AC, che interseca la semiretta AB in D
• Segmento: congiungi BC
• Parallela: traccia la parallela a BC per D che interseca la semiretta AC in E

Trovare il terzo proporzionale, vuol dire costruire una proporzione continua, nella quale o i medi o gli estremi sono uguali, cioè

\(a:b = b:c\)

Questa costruzione è usta nelle Prop.6-19 e Prop.6-22.