LIBRO VI
Prop.24: I parallelogrammi intorno alla diagonale di ogni parallelogrammo sono simili sia a quello totale che tra loro
Dimostrazione
Sia ABCD un parallelogrammo, e AC una sua diagonale, e siano EG e HK parallelogrammi intorno ad AC: dico che ognuno dei parallelogrammi EG e HK è simile a ABCD totale e anche tra loro.
Poiché infatti EF è parallela a un lato BC del triangolo ABC, in proporzione, BE sta a EA come CF sta a FA (Prop.6-2). Di nuovo, poiché FG è parallela a un lato CD del triangolo ACD, in proporzione, CF sta a FA come DG sta a GA (Prop.6-2).
Ma è stato dimostrato che CF sta a FA come BE sta a EA, pertanto BE sta a EA come DG sta a GA. Allora, componendo, BA sta a AE come DA sta a AG (Prop.5-18), e, alternando, BA sta a AD come EA sta a AG (Prop.5-16). Nei parallelogrammi ABCD e EG, i lati intorno all'angolo BAD in comune sono quindi in proporzione.
E poiché GF è parallela a DC, l'angolo AFG è uguale all'angolo ACD (Prop.1-29), e l'angolo DAC è comune ai due triangoli ADC e AGF, allora il triangolo ADC è equiangolo al triangolo AGF. Per gli stessi motivi anche il triangolo ACB è equiangolo al triangolo AFE, e il parallelogrammo ABCD totale è equiangolo al parallelogrammo EG. In proporzione, quindi, AD sta a DC come AG sta a GF, DC sta a CA come GF sta a FA, AC sta a CB come AF sta a FE, e CB sta a BA come FE sta a EA.
E poiché è stato dimostrato che DC sta a CA come GF sta a FA, e AC sta a CB come AF sta a FE, allora, tramite uguale, DC sta a CB come GF sta a FE (Prop.5-22). Nei parallelogrammi ABCD ed EG i lati intorno agli angoli uguale sono quindi in proporzione. Pertanto, il parallelogrammo ABCD è simile al parallelogrammo EG (Def.6-1).
Per gli stessi motivi il parallelogrammo ABCD è pure simile al parallelogrammo KH. Ognuno dei parallelogrammi EG e HK è quindi simile a ABCD. Ma figure simili alla stessa figura rettilinea sono pure simili tra loro (Prop.6-21), pertanto anche il parallelogrammo EG è simile al parallelogrammo HK.
I parallelogrammi intorno alla diagonale di ogni parallelogrammo sono quindi simili sia a quello totale che tra loro.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna la retta AB
- Parallela: disegna la parallela ad AB per un punto esterno D e completa il parallelogrammo ABCD
- Segmento: disegna la diagonale AC
- Punto: segna un punto F sulla diagonale AC
- Parallela: disegna la parallela GH ad AB passante per F e la parallela EK ad AD passante per F
- Poligono: segna i parallelogrammi EG e HK
Questa proposizione è usata nella Prop.6-26.