LIBRO VI
Prop.26: Se da un parallelogrammo è sottratto un parallelogrammo, sia simile a quello totale sia posto similmente, che ha con esso un angolo comune, allora esso è sulla stessa diagonale di quello totale
Dimostrazione
Dal parallelogrammo ABCD si sottragga il parallelogrammo AF simile e posto similmente a ABCD, avente l'angolo DAB in comune con esso: dico che ABCD è sulla stessa diagonale di AF.
Supponiamo che non sia così, e, se possibile, sia AHC la loro diagonale. Si prolunghi GF e la si conduca oltre fino a H. Si conduca HK per H parallela a una o all'altra delle rette AD o BC (Prop.1-31).
Poiché, dunque, ABCD è intorno allo stessa diagonale di KG, allora DA sta a AB come GA sta a AK (Prop.6-24). Ma è anche, essendo ABCD e EG simili, DA sta ad AB come GA sta a AE. GA sta quindi ad AK come GA sta ad AE (Prop.5-11)
GA ha quindi lo stesso rapporto con ognuna delle rette AK e AE (Prop.5-9). AE è quindi uguake ad AK, il minore uguale al maggiore, il che è impossibile. ABCD non può quindi non stare sulla stessa diagonale di AF. Il parallelogrammo ABCD è pertanto intorno alla stessa diagonale del parallelogrammo AF.
Se quindi da un parallelogrammo è sottratto un parallelogrammo, sia simile a quello totale sia posto similmente, che ha con esso un angolo comune, allora esso è sulla stessa diagonale di quello totale.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna la retta AB
- Parallela: disegna la parallela ad AB per un punto D
- Parallela: completa il parallelogrammo ABCD
- Segmento: disegna la diagonale AC
- Punto: segna su AC un punto F
- Parallela: costruisci il parallelogrammo AF che interseca AB in K e AD in G
- Punto: sulla parallela GF prendi un punto H
- Parallela: costruisci il parallelogrammo AKHG
- Segmento: disegna i segmenti KH e HC, la nuova diagonale
Questa proposizione è usata nella prossime tre dimostrazioni.