LIBRO VI
Prop.25: Costruire una figura simile a una figura rettilinea data e uguale ad un'altra data
Dimostrazione
Sia ABC la figura rettilinea data a cui si deve costruire una figura simile, e D quella a cui deve essere uguale: si deve pertanto costruire un figura simile a ABC e uguale a D.
Sia infatti stato applicato a BC il parallelogrammo BE uguale al triangolo ABC (Prop.1-45), e a CE il parallelogrammo CM uguale a D nell'angolo FCE uguale all'angolo CBL (Prop.1-44). Allora BC è in linea retta con CF, e LE con EM.
Si prenda una media proporzionale GH di BC e CF (Prop.6-13), e si descriva KGH simile e posto similmente ad ABC su GH (Prop.6-18).
E poiché BC sta a GH come GH sta a CF, e, se tre rette sono in proporzione, allora la prima sta alla terza come la figura sulla prima sta a quella simile e similmente posta descritta sulla seconda (Prop.5-19Cor), allora BC sta a CF come il triangolo ABC sta al triangolo KGH.
Ma BC sta a CF come il parallelogrammo BE sta al parallelogrammo EF (Prop.6-1). Pertanto anche il triangolo ABC sta al triangolo KGH come il parallelogrammo BE sta al parallelogrammo EF (Prop.5-11). Allora, alternando, il triangolo ABC sta al parallelogrammo BE come il triangolo KGH sta al parallelogrammo EF (Prop.5-16).
Ma il triangolo ABC è uguale al parallelogrammo BE; anche il triangolo KGH è quindi uguale al parallelogrammo EF. E il parallelogrammo EF è uguale a D, anche KGH è quindi uguale a D (Prop.5-14). E anche KGH è simile ad ABC. Pertanto questa figura KGH è stata costruita simile alla figura rettiline data ABC e uguale all'altra figura data D.
Questa figura KGH risulta quindi costruita simile alla figura rettilinea data ABC e uguale all'altra figura data D.
La costruzione con GeoGebra:
- Poligono: disegna il triangolo ABC
- Retta: disegna la retta BC
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare a BC da A
- Segmento: disegna l'altezza del triangolo ABC
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro B e raggio metà altezza del triangolo ABC
- Parallela: disegna, completando, il parallelogrammo BE
- Poligono: disegna il poligono D
- Retta: disegna la retta che contiene una diagonale del poligono D, che divide il poligono in due triangoli
- Perpendicolare: disegna le altezze dei due triangoli
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro C e raggio pari al prodotto della diagonale per la somma delle due altezze, dividendo poi per l'altezza del triangolo ABC; si ottiene in tal modo il lato CF del parallelogrammo CM
- Punto: segna un punto G
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro G e raggio la radice quadrata del prodotto di BC per CF
- Parallela: disegna la parallela ad AB per G e quella ad AC per H; le due parallele si intersecano nel punto K
- Poligono: disegna il triangolo simile e similmente posto GHK
Questa proposizione risolve un problema del tipo: trovare una figura con le dimensioni di una figura ma con la forma di un'altra.
Questa proposizione è usata nella Prop.6-28 e nella Prop.6-29.