LIBRO VI
Prop.28: Applicare a una data retta un parallelogrammo uguale a una figura rettilinea data e deficiente di una figura parallelogrammica simile alla data; occorre pertanto che la figura rettilinea data non sia maggiore del parallelogrammo descritto sulla metà della retta e simile al difetto
Dimostrazione
Sia C la figura rettilinea data, AB la retta data, e D il parallelogrammo dato; e sia C non maggiore del parallelogrammo descritto sulla metà di AB simile al parallelogrammo dato D: occorre pertanto applicare un parallelogrammo uguale alla figura rettilinea data a una retta data AB ma in difetto di un parallelogrammo simile a D.
Si sechi AB a metà nel punto E (Prop.1-9). Si descriva EBFG simile e similmente posto a D su EB (Prop.6-18), e si completi il parallelogrammo AG.
Se quindi AG è uguale a C, risulterebbe quanto richiesto, cioè il parallelogrammo AG uguale alla figura rettilinea data C sarebbe stata applcata alla retta data AB che ha difetto di un parallelogrammo GB simile a D.
Se invece non è così, sia HE maggiore di C.
Sia HE uguale a GB, anche GB è quindi maggiore di C. Si costruisca KLMN uguale a GB meno C e simile e similmente posto a D (Prop.6-25). Ma D è simile a GB, anche KM è quindi simile a GB (Prop.6-21). Sia quindi KL omologo a GE, e LM a GF.
E poiché GB è uguale a C e a KM, allora GB è maggiore di KM, anche GE è quindi maggiore di KL, e GF di LM. Si ponga GO uguale a KL, e GP uguale a LM, e sia completato il parallelogrammo OGPQ; è quindi uguale e simile a KM (Prop.6-21). Anche GQ è quindi simile a GB, pertanto GQ sta sullo stessa diagonale di GB (Prop.6-26).
Sia GQB la loro diagonale, e si descriva l'intera figura. Poiché quindi BG è uguale a C e KM, dei quali GQ è uguale a KM, allora il restante, lo gnomone UWV, è uguale al restante C. E poiché R è uguale a OS, si aggiunga QB ad entrambi, PB totale è quindi uguale a OB totale. Ma OB è uguale a TE, poiché nche il lato AE è uguale al lato EB (Prop.1-36), anche TE è quindi uguale a PB.
Si aggiunga OS ad entrambi. TS totale è quindi uguale al totale, lo gnomone VWU. Ma lo gnomone VWU è stato dimostrato essere uguale a C, pertanto anche TS è uguale a C.
Risulta quindi applicato alla retta data AB un parallelogrammo ST uguale alla figura rettilinea data C che fa difetto di una figura parallelogrammica PB che è simile a D.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB sulla retta AB
- Punto Medio: segna il punto mediio, E, di AB
- Poligono: disegna il poligono C
- Segmento: disegna una diagonale (m)
- Perpendicolare: disegna le altezze dei due triangoli che hanno la diagonale come base comune (siano r, s)
- Parallela: disegna il parallelogrammo D con un lato sulla retta AB
- Parallela: completa i parallelogrammi AH e BG
- Perpendicolare: traccia l'altezza comune a questi parallelogrammi, che indichiamo con z
- Segmento: disegna un segmento KN sulla retta AB
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare a KN per K
- Compasso: disegna la circonferenza di centro K e raggio uguale a [2EB*z- m(r+s)]/2KN; tale circonferenza interseca la perpendicolare a KN in L
- Parallela: completa il parallelogrammo KLMN
- Compasso: disegna la circonferenza di raggio LK e di centro G che interseca EG in O e la circonferenza di centro G e raggio LM che interseca GF in P
- Parallela: disegna la parallela per O ad AB e la parallela a EG per P
Questa costruzione risolve un'equazione di secondo grado completa del tipo \(S= ax-\frac{bx^2}{c}\) dove S è l'area del poligono dato C, dove b, c sono le dimensioni del parallelogrammo D; a è la lunghezza del lato AB e x è l'altezza del parallelogrammo ASQT.
La costruzione presente in questa proposizione è utilizzata nel Libro X.