LIBRO VI
Prop.29: A una retta data applicare un parallelogrammo uguale a una figura rettilinea data ed eccedente di una figura parallelogrammica simile a una data
Dimostrazione
Sia AB la retta data e C la figura rettilinea data, uguale alla quale si deve applicare quello su AB, quello simile a quello di cui deve eccedere D: si deve pertanto applicare un parallelogrammo uguale alla figura rettilinea C alla retta AB ma che lo eccede di un parallelogrammo simile a D.
Si sechi AB a metà nel punto E (Prop.1-9). Si descriva il parallelogrammo BF su EB simile e similmente posto a D, e si costruisca GH uguale alla somma di BF e C e simile e similmente posto a D (Prop.6-25). Sia KH omologo di FL e KG di FE.
E poiché GH è maggiore di FB, allora anche KH è maggiore di FL, e KG è maggiore di FE. Si prolunghino FL e FE. Si prenda FLM uguale a KH, e FEN uguale a KG. Si completi MN. Allora MN è sia uguale sia simile a GH. Ma GH è simile a EL, anche MN è quindi simile a EL, e pertanto EL è intorno alla stessa diagonale con MN (Prop.6-26).
Si conduca la loro diagonale FO, e si descriva la figura. Poiché GH è uguale alla somma di EL e C, mentre GH è uguale a MN, allora anche MN è uguale alla somma di EL e C. Si sottragga EL da entrambi. Lo gnomone restante XWV è quindi uguale a C.
Di nuovo, poiché AE è uguale a EB, anche AN è quindi uguale a NB, cioè LP (Prop.1-36 e Prop.1-43). Si aggiunga EO ad entrambi. AO totale è quindi uguale allo gnomone VWX. Ma lo gnomone VWX è uguale a C, anche AO è quindi uguale a C. Pertanto il parallelogrammo AO, uguale alla figura rettilinea data C, è stato applicato alla retta data AB ma che lo eccede di un parallelogrammo QP simile a D, poiché anche PQ è simile a EL (Prop.6-24).
A una retta data risulta quindi applicato un parallelogrammo uguale a una figura rettilinea data ed eccedente di una figura parallelogrammica simile a una data.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB sulla retta AB
- Punto Medio: segna il punto medio, E, di AB
- Poligono: disegna il poligono C
- Parallela: disegna il parallelogrammo D e le parallele a un lato di D per E e B
- Circonferenza di raggio dato: disegna la circonferenza di centro B e raggio proporzionale al rapporto tra i lati di D
- Parallela: completa il parallelogrammo FB
- Perpendicolare: disegna le altezze dei tre triangoli in cui è divisibile il poligono C
- Segmento: disegna il segmento di estremo G sulla retta AB
- Circonferenza di raggio dato: disegna la circonferenza di centro G e raggio al rapporto tra l'area di C e FB e il lato di estremo G. Il raggio di questa circonferenza è l'altezza del parallelogrammo GH
- Parallela: completa il parallelogrammo GH
- Compasso: disegna la circonferenza di centro F e raggio uguale a HK che interseca in L e la circonferenza di centro F e raggio GK che interseca in L
- Parallela: completare i parallelogrammi
La costruzione presente in questa proposizione è utilizzata nella proposizione successiva.