Elementi di Euclide

Prop.8: Se in un triangolo rettangolo è tracciata una perpendicolare dall'angolo retto alla base, allora i triangoli alla perpendicolare sono simili sia a quello totale che tra loro

Dimostrazione

Sia ABC un triangolo rettangolo avente l'angolo BAC retto, e sia AD la perpendicolare condotta da A alla retta BC: dico che ognuno dei triangoli DBA e DAC è simile a quello totale ABC, e che sono simili tra loro.

Poiché l'angolo BAC è uguale all'angolo BDA, entrambi retti, e l'angolo su B è in comune ai due triangoli ABC e DBA, allora l'angolo restante ACB è uguale all'angolo DAB restante (Prop.1-32). Il triangolo ABC è quindi equiangolo al triangolo DBA.

BC quindi, che è opposto all'angolo retto nel triangolo ABC, sta a BA, che è opposto all'angolo retto nel triangolo DBA, come AB, che è opposto all'angolo in C nel triangolo ABC, sta a DB, che è opposto all'angolo uguale BAD nel triangolo DBA, e anche come AC sta a DA, che è opposto all'angolo in B comune ai due triangoli (Prop.6-4).

Il triangolo ABC è quindi equiangolo al triangolo DBA ed ha i lati intorno agli angoli uguali in proporzione. Il triangolo ABC è quindi simile al triangolo DBA (Def.6-1). Analogamente si dimostra che anche il triangolo DAC è simile al triangolo ABC. Entrambi i triangoli DBA e DAC sono quindi simili al triangolo ABC totale.

Dico ora che anche i triangoli DBA e DAC sono simili tra loro.

Poiché l'angolo retto BDA è uguale all'angolo retto ADC, e a dire il vero l'angolo DAB è stato dimostrato uguale all'angolo in C, allora l'angolo restante in B è pure uguale all'angolo restante DAC (Prop.1-32). Il triangolo DBA è quindi equiangolo al triangolo ADC.

BD quindi, che è opposto all'angolo DAB nel triangolo DBA, sta a AD, che è opposto all'angolo in C nel triangolo DAC uguale all'angolo DAB, come AD stesso, che è opposto all'angolo in B nel triangolo DBA, sta a CD, che è opposto all'angolo DAC nel triangolo DAC uguale all'angolo in B, e anche come BA sta a AC, lati questi opposti agli angoli retti (Prop.6-4). Il triangolo DBA è quindi simile al triangolo DAC (Def.6-1).

Se quindi in un triangolo rettangolo è tracciata una perpendicolare dall'angolo retto alla base, allora i triangoli alla perpendicolare sono simili sia a quello totale che tra loro.

Corollario: se in un triangolo rettangolo è condotta una perpendicolare dall'angolo retto alla base, allora la retta condotta è media proporzionale dei segmenti della base.

La costruzione con GeoGebra:

• Semicirconferenza per due punti: disegna la semicirconferenza BC
• Poligono: disegna il triangolo rettangolo ABC con A sulla semicirconferenza
• Perpendicolare: disegna la perpendicolare AD alla base BC

Questa proposizione, una volta dimostrata, può essere utilizzata per una ulteriore dimostrazione della Prop.1-47, cioé del cosiddetto teorema di Pitagora.

Questa proposizione e il suo corollario sono spesso utlizzati nei Libri VI, X, XIII.