LIBRO VI
Prop.4: Nei triangoli equiangoli i lati intorno agli angoli uguali sono in proporzione, e omologhi quelli che si tendono sotto gli angoli uguali
Dimostrazione
Siano ABC e DCE triangoli equiangoli aventi l'angolo ABC uguale all'angolo DCE, l'angolo BAC uguale all'angolo CDE, e l'angolo ACB uguale all'angolo CED: dico che nei triangoli ABC e DEC i lati intorno agli angoli uguali sono in proporzione e omologhi quelli che si tendono sotto gli angoli uguali.
Sia posta BCin linea retta con CE.
E poiché la somma degli angoli ABC e ACB è minore di due angoli retti (Prop.1-17), e l'angolo ACB è uguale all'angolo DEC, allora la somma degli angoli ABC e DEC è minore di due retti. Quindi BA e ED, se prolungate, si incontreranno (Post.5). Siano prolungate e si incontrino in F.
E poiché l'angolo DCE è uguale all'angolo ABC, DC è parallela a FB. Di nuovo, poiché l'angolo ACB è uguale all'angolo DEC, AC è parallella a FE (Prop.1-28). FACD è quindi un parallelogrammo, e FA è uguale a DC, e AC a FD (Prop.1-34).
E poiché AC è parallela al lato FE del triangolo FBE, allora BA sta a AF come BC sta a CE (Prop.6-2). Ma FD è uguale a AC, BC sta quindi a CE come AC sta a DE (Prop.5-7), e alternando BC sta a CA come CE sta a ED (Prop.5-16).
Poiché dunque è stato dimostrato che AB sta a BC come DC sta a CE, e BC sta a CA come CE sta a ED, allora, tramite uguali, BA sta a AC come CD sta a DE (Prop.5-22).
Nei triangoli equiangoli i lati intorno agli angoli uguali sono quindi in proporzione, e omologhi quelli che si tendono sotto gli angoli uguali.
La costruzione con GeoGebra:
- Poligono: disegna il triangolo ABC
- Semiretta: disegna il prolungamento di BA dalla parte di A e di BC dalla parte di C
- Punto: traccia un punto E sulla semiretta BC
- Parallela: disegna le parallele per E a AC che interseca la semiretta BA in F; la parallela per C a BA, che interseca la parallela EF in D
- Segmento: disegna il segmento CD
Nell'enunciato l'ipotesi di uguaglianza tra gli angoli riguarda due triangoli che hanno gli angoli rispettivamente uguali e non certo l'assunzione di due triangoli equilateri.
Questa proposizione implica la similitudine dei triangoli ed è oggi introdotta come uno dei criteri di similitudine tra i triangoli. Viene mostrata anche la validità della proprietà transitiva della similitudine.
Questa proposizione è usata più volte in questo libro a partire dalla prossima proposizione.