Elementi di Euclide

Prop.5: Se due triangoli hanno i loro lati in proporzione, allora i triangoli sono equiangoli e hanno uguali gli angoli sotto cui si tendono i lati omologhi

Dimostrazione

Siano ABC e DEF due triangoli aventi i lati in proporzione, così che AB sta a BC come DE sta a EF, BC sta a CA come EF sta a FD, e inoltre BA sta a AC come ED sta a DF: dico che il triangolo ABC è equiangolo al triangolo DEF e hanno uguali gli angoli sotto cui si tendono i lati omologhi, cioè l'angolo ABC uguale all'angolo DEF, l'angolo BCA uguale all'angolo EFD, e l'angolo BAC uguale all'angolo EDF.

Si costruisca l'angolo FEG uguale all'angolo CBA e l'angolo EFG uguale all'angolo BCA sui punti E e F della retta EF (Prop.1-23): l'angolo restante su A è quindi uguale all'angolo restante su G (Prop.1-32). Il triangolo ABC è quindi equiangolo al triangolo GEF.

Nei triangoli ABC e GEF i lati intorno agli angoli uguali sono quindi in proporzione e omologhi quelli che si tendono sotto gli angoli uguali: AB sta quindi a BC come GE sta a EF (Prop.6-4). Ma è stato supposto che AB sta a BC come DE sta a EF, pertanto DE sta a EF come GE sta a EF (Prop.5-11). Ognuna delle rette DE e GE ha quindi lo stesso rapporto con EF, DE è quindi uguale a GE (Prop.5-9).

Per gli stessi motivi anche DF è uguale a GF.

E poiché DE è uguale a GE, e EF è in comune, i due lati DE, EF sono uguali ai due lati GE, EF, e la base DF è uguale alla base GF (Prop.1-8), allora l'angolo DEF è uguale all'angolo GEF, e il triangolo DEF è uguale al triangolo GEF, e gli angoli restanti sono uguali agli angoli restanti, cioè sotto cui si tendono i lati uguali (Prop.1.4).

Anche l'angolo DFE è quindi uguale all'angolo GFE, e l'angolo EDF è uguale all'angolo EGF.

E poiché l'angolo DEF è uguale all'angolo GEF, e l'angolo GEF è uguale all'angolo ABC, allora anche l'angolo ABC è uguale all'angolo DEF. Per gli stessi motivi anche l'angolo ACB è uguale all'angolo DFE, e inoltre, l'angolo su A è uguale all'angolo su D: il triangolo ABC è quindi equiangolo al triangolo DEF.

Se quindi due triangoli hanno i loro lati in proporzione, allora i triangoli sono equiangoli e hanno uguali gli angoli sotto cui si tendono i lati omologhi.

La costruzione con GeoGebra:

• Poligono: disegna il triangolo ABC
• Punto: traccia il punto E esterno al triangolo
• Parallela: disegna la parallela per E al lato BC
• Angolo di data misura: disegna l'angolo DEF uguale all'angolo ABC e l'angolo EFD uguale a BCA
• Poligono: disegna il triangolo simile DEF
• Angolo di data misura: disegna l'angolo FEG uguale all'angolo DEF e l'angolo EFG uguale a EFD
• Poligono: disegna il triangolo EGF

Questo è il teorema inverso del precedente (Prop.6-4). La condizione di similitudine stabilisce quindi che due triangoli sono simili se hanno o i lati in proporzione o gli angoli rispettivamente uguali.

Questa proposizione è usata nel Libro XII.