Elementi di Euclide

Prop.6: Se due triangoli hanno un solo angolo uguale a un solo angolo e i lati intorno agli angoli uguali in proporzione, allora i triangoli sono equiangoli e hanno uguali gli angoli sotto cui si tendono i lati omologhi

Dimostrazione

Siano ABC e DEF due triangoli aventi un solo angolo BAC uguale a un solo angolo EDF, e siano i lati intorno agli angoli uguali in proporzione, così che BA sta a AC come ED sta a DF: dico che il triangolo ABC è equiangolo al triangolo DEF e ha l'angolo ABC uguale all'angolo DEF, e l'angolo ACB uguale all'angolo DFE.

Si costruisca sulla retta DF e sui punti D e F su di essa, l'angolo FDG uguale a entrambi gli angoli BAC o EDF, e l'angolo DFG uguale all'angolo ACB (Prop.1-23). L'angolo restante su B è quindi uguale all'angolo restante su G (Prop.1-32). Il triangolo ABC è quindi equiangolo al triangolo DGF. In proporzione è quindi BA sta a AC come GD sta a DF (Prop.6-4).

Ma è stato supposto che BA sta a AC come ED sta a DF, pertanto anche ED sta a DF come GD sta a DF (Prop.5-11). ED è quindi uguale a GD (Prop.5-9). E DF è in comune: i due lati ED e DF sono quindi uguali ai due lati GD e DF, e l'angolo EDF è uguale all'angolo GDF; pertanto la base EF è uguale alla base GF, il triangolo DEF è uguale al triangolo DGF, e gli angoli rimanenti sono uguali agli angoli rimanenti, cioè quelli sotto cui si tendono i lati uguali (Prop.1.4).

L'angolo DFG è quindi uguale all'angolo DFE, e l'angolo DGF è uguale all'angolo DEF. Ma l'angolo DFG è uguale all'angolo ACB, pertanto anche l'angolo ACB è uguale all'angolo DFE.

Ed è anche stato supposto che l'angolo BAC è uguale all'angolo EDF; l'angolo restante su B è quindi uguale all'angolo restante su E. Il triangolo ABC è quindi equiangolo con il triangolo DEF (Prop.1-32).

Se quindi due triangoli hanno un solo angolo uguale a un solo angolo e i lati intorno agli angoli uguali in proporzione, allora i triangoli sono equiangoli e hanno uguali gli angoli sotto cui si tendono i lati omologhi.

La costruzione con GeoGebra:

• Poligono: disegna il triangolo ABC
• Punto: traccia il punto E esterno al triangolo
• Parallela: disegna la parallela per E al lato BC
• Angolo di data misura: disegna l'angolo DEF uguale all'angolo ABC
• Semiretta: disegna la semiretta ED
• Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro E raggio ED = BCxEF/AB
• Poligono: disegna il triangolo simile DEF
• Angolo di data misura: disegna l'angolo FDG uguale all'angolo EDF e l'angolo DFG uguale a EFD
• Poligono: disegna il triangolo EGF, dove G è l'intersezione dei due lati FG e DG degli angoli

Questo è un altro teorema di similitudine. Due triangoli risultano simili se hanno due lati in proporzione che contengono un angolo rispettivamente uguale.

Questa proposizione è usata in questo libro e nel Libro XII.