Elementi di Euclide

Prop.3: Se un angolo di un triangolo è secato a metà da una retta che seca anche la base, allora i segmenti della base hanno lo stesso rapporto dei restanti lati del triangolo; e, se segmenti della base hanno lo stesso rapporto dei restanti lati del triangolo, allora la retta che congiunge il vertice con la sezione secherà a metà l'angolo del triangolo

Dimostrazione

Sia ABC un triangolo, e sia l'angolo BAC secato a metà dalla retta AD: dico che DB sta DC come AB sta a AC.

Si conduca CE per C parallela a DA (Prop.1-31), e condotta oltre AB incida su di essa in E.

E poiché la retta AC incide sulle parallele AD e EC, l'angolo ACE è uguale all'angollo CAD (Prop.1-29). Ma l'angolo CAD è stato supposto uguale all'angolo BAD, pertanto anche l'angolo BAD è uguale all'angolo ACE.

Di nuovo, poiché la retta BAE incide sulle parallele AD e EC, l'angolo esterno BAD è uguale all'interno AEC (Prop.1-29); ma l'angolo ACE è stato dimostrato uguale all'angolo BAD, pertanto anche l'angolo ACE è uguale all'angolo AEC, così che anche il lato AE è uguale al lato AC (Prop.1-6).

E poiché parallela a uno dei lati EC del triangolo BCE, risulta condotta una retta AD, in proporzione quindi DB sta a DC come AB sta a AE (Prop.6-2). Ma AE è uguale a AC, pertanto DB sta a DC come AB sta a AC (Prop.5-7).

Ma ora stia DB a DC come AB a AC. Si congiunga AD: dico che la retta AD seca a metà l'angolo BAC.

Con la stessa costruzione, poiché DB sta a DC come AB sta a AC, e anche DB sta a DC come AB sta a AE, essendo AD parallelo a EC, uno dei lati del triangolo BCE (Prop.6-2), allora anche AB sta a AC come AB sta a AE (Prop.5-11). AC è quindi uguale a AE (Prop.5-9), così che anche l'angolo AEC è uguale all'angolo ACE (Prop.1-5).

Ma l'angolo AEC è uguale all'angolo esterno BAD, e l'angolo ACE è uguale all'angolo alterno CAD, pertanto anche l'angolo BAD è uguale all'angolo CAD (Prop.1-29). La retta AD seca quindi a metà l'angolo BAC.

Se quindi un angolo di un triangolo è secato a metà da una retta che seca anche la base, allora i segmenti della base hanno lo stesso rapporto dei restanti lati del triangolo; e, se segmenti della base hanno lo stesso rapporto dei restanti lati del triangolo, allora la retta che congiunge il vertice con la sezione secherà a metà l'angolo del triangolo.

La costruzione con GeoGebra:

• Poligono: disegna il triangolo ABC
• Bisettrice: disegna la bisettrice AD dell'angolo BAC
• Parallela: disegna la parallela per C alla bisttrice AD
• Semiretta: disegna la semiretta BA, che interseca la parallela in E
• Segmento: disegna i segmenti AE, CE

Anche questa dimostrazione si caratterizza come una condizione necessaria e sufficiente affinché la bisettrice di un angolo di un triangolo sia la linea che divide la base in parti proporzionali ai lati che contengono l'angolo.

Questa proposizione non è più usata nel resto degli Elementi.