Elementi di Euclide

Prop.10: Costruire un triangolo isoscele che ha ognuno degli angoli alla base doppio del restante

Dimostrazione

Sia fissata una retta AB, e sia stata secata nel punto C così da essere il rettangolo compreso da AB, BC uguale al quadrato su CA (Prop.2-11); si tracci il cerchio BDE di centro A e raggio AB, e si adatti nel cerchio BDE una retta BD uguale alla retta AC (Prop.4-1), che non è maggiore del diametro di BDE; si congiungano AD, DC, e si circoscriva intorno al triangolo ACD un cerchio ACD (Prop.4-5).

E poiché il rettangolo AB per BC è uguale al quadrato su AC, e AC è uguale a BD, il rettangolo AB per BC è quindi uguale al quadrato su BD.

E poiché un punto B è stato preso all'esterno del cerchio ACD, e da B risultano incidere sul cerchio ACD due rette BA e BD, e una di esse seca mentre l'altra incide, e il rettangolo AB per BC è uguale al quadrato su BD, allora BD è tangente al cerchio ACD (Prop.3-37).

E poiché BD è tangente, e DC è condotta dal punto di tangenza D, l'angolo BDC è quindi uguale all'angolo DAC nel segmento alterno del cerchio (Prop.3-32). E poiché l'angolo BDC è uguale all'angolo DAC, si aggiunga ad entrambi l'angolo CDA, allora BDA totale è uguale alla somma dei due angoli CDA e DAC.

Ma l'angolo esterno BCD è uguale alla somma degli angoli CDA e DAC (Prop.1-32), anche l'angolo BDA è quindi uguale all'angolo BCD. Ma l'angolo BDA è uguale all'angolo CBD, poiché anche il lato AD è uguale a AB, così che anche l'angolo DBA è uguale all'angolo BCD (Prop.1-5). Pertanto i tre angoli BDA, DBA, BCD sono uguali tra loro.

E poiché l'angolo DBC è uguale all'angolo BCD, anche il lato BD è uguale al lato DC (Prop.1-6). Ma BD è stato supposto uguale a CA; anche CA è quindi uguale a CD, così che anche l'angolo CDA è uguale all'angolo DAC (Prop.1-5). Pertanto la somma degli angoli CDA e DAC è doppia dell'angolo DAC.

E l'angolo BCD è uguale alla somma degli angoli CDA e DAC, pertanto anche l'angolo BCD è doppio dell'angolo CAD. Ma l'angolo BCD è uguale ad ognuno degli angoli BDA e DBA, pertanto ognuno degli angoli BDA e DBA è doppio dell'angolo DAB.

Risulta quindi costruito un triangolo isoscele ABD che ha uno e l'altro degli angoli alla base DB doppio del restante.

La costruzione con GeoGebra:

• Segmento: disegna il segmento AB
• Poligono regolare: disegna il quadrato ABDC su AB
• Punto medio: traccia il punto medio E del lato AC
• Segmento: disegna il segmento BE
• Semiretta: disegna la semiretta CA
• Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro E e raggio EB, che interseca la semiretta CA in F
• Poligono regolare: disegna il quadrato AFGH, su AF, dalla parte di ABCD
• Semiretta: disegna la semiretta GH che interseca il lato CD in K
• Segmento: disegna il segmento HK
• Circonferenza: disegna la circonferenza di centro A e raggio AB
• Segmento: disegna il segmento AC
• Compasso: disegna la circonferenza di centro B e raggio AC che interseca la circonferenza di raggio AB in D
• Segmento: disegna i segmenti BD, AD
• Assi: disegna gli assi del segmento AC e CD, che si intersecano nel centro della circonferenza circoscritta al triangolo ACD.

Lo scopo di questa proposizione è di costruire un triangolo isoscele con angoli 36°, 72°, 72°. Questo teorema potrebbe avere una forma inversa, che Euclide non introduce. Vale a dire, se un triangolo isoscele ha ciascun angolo di base uguale al doppio dell'angolo del vertice, la base è uguale a un segmento del suo lato in modo che il quadrato sulla base sia uguale al rettangolo contenuto dal lato e al segmento rimanente del lato. In altre parole, i triangoli isosceli 36°, 72°, 72° sono caratterizzati da questa proprietà. Il triangolo costruito in questa proposizione è uno dei dieci settori di un decagono regolare. Quindi, il passo da questa proposizione alla costruzione di un decagono regolare inscritto in un cerchio è breve. Se sono collegati vertici alternativi di un decagono regolare, si forma un pentagono regolare che è inscritto nel cerchio. Non è chiaro il motivo per cui Euclide non abbia utilizzato una simile costruzione piuttosto che quella che ha scelto nella proposizione successiva.