Elementi di Euclide

Prop.1: Fissati due numeri disuguali, e sottratto continuamente in successione il minore dal maggiore, se il resto non misura mai completamente quello prima di se stesso, fino a che resti una unità, allora i numeri originari saranno primi tra loro

Dimostrazione

Sia il minore di due numeri diversi AB ed CD continuamente sottratto dal maggiore, e il numero che è tolto non misuri mai quello prima di se stesso, fino a che resti un'unità: dico che AB e CD sono primi tra loro, cioè, che una sola unità misuri AB e CD (Def.7-12).

Se AB e CD non sono primi tra loro, allora un certo numero E misura entrambi. CD, misurando BF, dia come resto FA minore di se stesso; AF, misurando DG, dia come resto GC minore di se stesso, e GC, misurando FH, dia come resto un'unità HA.

Poiché, quindi, E misura CD, e CD misura BF, allora anche E misura BF. Ma misura anche BA totale, pertanto misura il restante AF. Ma AF misura DG, anche E misura quindi DG. Ma misura anche DC totale, quindi misura anche il restante CG. E CG misura FH, anche E misura quindi FH. Ma misura anche FA totale, quindi misura il restante, l'unità AH, considerata come numero, il che è impossibile.

Pertanto nessun numero misura i numeri AB, CD. AB, CD sono quindi primi tra loro (Def.7-12).

Fissati quindi due numeri disuguali, e sottratto continuamente in successione il minore dal maggiore, se il resto non misura mai completamente quello prima di se stesso, fino a che resti una unità, allora i numeri originari saranno primi tra loro.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna tre rette sulle quali collocare i tre segmenti
• Segmento: disegna il segmento AB su una retta e CD su un'altra retta
• Circonferenza di dato raggio: traccia le circonferenze di centro B e raggio CD tante volte quante CD è contenuto in AB. L'ultima intersezione sia F
• Segmento: disegna il segmento AF
• Circonferenza di dato raggio: traccia le circonferenze di centro D e raggio AF tante volte quante AF è contenuto in CD. Sia G l'ultima intersezione.
• Segmento: disegna il segmento CG
• Circonferenza di dato raggio: traccia le circonferenze di centro F e raggio CG tante volte quante CG è contenuto in AF. Sia H l'ultima intersezione.
• Segmento: disegna il segmento E sulla terza retta

Nella notazione moderna la parola "misura" è sostituita dal termine "divide", per cui \(a\) misura \(b\), diviene \(a\) divide \(b\), \(a:b\).

Questa proposizione assume che 1 sia il risultato dell'algoritmo euclideo (antenaresis), cioè un tipo di sottrazione reciproca, nella quale il numero più piccolo tra i due è continuamente sottratto dal maggiore.

Dati due numeri \(a_1\) (AB per Euclide) e \(a_2\) (CD), con \(a_1 > a_2\), il primo passo è quello di sottrarre ripetutamente \(a_2\) da \(a_1\) fino a trovare \(a_3\) (AF) minore di \(a_2\). Algebricamente, se \(a_1 - m_1a_2= a_3\) dove \(m_1\) indica il numero di volte in cui \(a_2\) è sottratto da \(a_1\).

Il passo successivo prevede la sottrazione ripetuta di \(a_3\) da \(a_2\) che da un resto \(a_4\) (CG): \(a_2 - m_2a_3 = a_4\)

Per le ipotesi di questa proposizione, L'algoritmo si arresta quando il resto è \(1\): \(a_{n-1} - m_{n-1}a_n = 1\). (Nella dimostrazione, \(a_n\) è \(a_5\) cioè AH.

La conclusione è che \(a_1\) e \(a_2\) sono primi tra loro.

Esempio numerico:

Seguiamo l'agoritmo; prendiamo i due numeri primi tra loro \(54\) e \(85\)

\(85 – 2\times 31 = 23\)       \(31 – 23 = 8\)       \(23 – 2\times 8 = 7\)       \(8 – 7 = 1\)

Questa proposizione è utilizzata nella successiva dimostrazione.