Elementi di Euclide

Prop.2: Trovare la massima misura comune di due numeri dati non primi tra loro

Dimostrazione

Siano AB e CD due numeri dati non primi tra loro: si richiede pertanto di trovare la massima misura comune di AB e CD.

Se dunque CD misura AB, poiché, e misura anche se stesso, allora CD è una misura comune di CD e AB. Ed è manifesto che è anche la massima, infatti nessun numero maggiore di CD misurerà CD.

Se invece CD no misura AB, allora, quando il minore dei numeri AB, CD sarà continuamente sottratto dal maggiore, resterà un certo numero che misurerà quello prima di se stesso. Infatti non sarà rimasta un'unità, altrimenti AB e CD sarebbero primi tra loro, la qual cosa è contraria all'ipotesi. Sarà rimasto pertanto un certo numero che misurerà quello prima di se stesso.

E CD, misurando BE, dia come resto EA minore di se stesso, e EA misurando DF, dia come resto FC minore di se stesso, e CF misuri AE. Poiché quindi, CF misura AE, e AE misura DF, anche CF misurerà quindi DF. Ma misura anche se stesso, misurerà quindi anche CD totale. Ma CD misura BE, pertanto anche CF misura BE. E misura pure EA, pertanto misurerà anche BA totale. Ma misura anche CD, pertanto CF misurerà AB e CD. Pertanto CF è una misura comune di AB e CD.

Dico ora che è anche la massima. Se CF non è la massima misura comune di AB e CD, allora un certo numero G, che è maggiore di CF, misurerà i numeri AB e CD. Ora, poiché G misura CD, e CD misura BE, allora G misurerà anche BE. Ma è anche misura di BA totale, pertanto misurerà anche il restante AE. Ma AE misura DF, pertanto G misurerà anche DF. E misurerà DC totale, pertanto misurerà anche il restante CF, cioè, il maggiore misura il minore, che è impossibile.

Non si darà quindi il caso che un certo numero che sia maggiore di CF misuri i numeri AB e CD. Pertanto CF è la massima misura comune di AB e CD.

Corollario:Da questo è pertanto manifesto che, qualora un numero misuri due numeri, misurerà anche la loro massima misura comune.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna tre rette sulle quali collocare i tre segmenti
• Segmento: disegna il segmento AB su una retta e CD su un'altra retta
• Circonferenza di dato raggio: traccia le circonferenze di centro B e raggio CD tante volte quante CD è contenuto in AB. L'ultima intersezione sia E
• Segmento: disegna il segmento AE
• Circonferenza di dato raggio: traccia le circonferenze di centro D e raggio AE tante volte quante AE è contenuto in CD. Sia F l'ultima intersezione.
• Segmento: disegna il segmento CF
• Segmento: disegna il segmento G sulla terza retta

Euclide usa ancora l'antenaresis (l'algoritmo euclideo) per trovare il massimo comun divisore di due numeriche non sono primi tra loro.

Questa proposizione e il suo corollario sono usati nelle due proposizioni successive.