Elementi di Euclide

Prop.3: Trovare la massima misura comune di tre numeri dati non primi tra loro

Dimostrazione

Siano A, B, C i tre numeri dati non primi tra loro: si deve pertanto trovare la massima misura comune di A, B, C.

Si prenda la massima misura comune, D, dei due numeri A, B (Prop.7-2). Poi o D misura, o non misura, C. In primo luogo lo misuri. Ma misuri anche A, B, pertanto D misura A, B, C. D è quindi la misura comune di A, B, C. Dico che è anche la massima.

Se D non è la massima misura comune di A, B, C, allora un certo numero E, maggiore di D, misura i numeri A, B, C. Poiché dunque E misura A, B, C, misura quindi anche A, B. Pertanto misura anche la massima misura comune di A, B. Ma la massima misura comune di A, B è D, pertanto E misura D, il maggiore il minore, il che è impossibile. Non si dà quindi il caso che un certo numero, che è maggiore di D, misuri i numeri A, B, C. D è quindi la massima misura comune di A, B, C.

D non misuri ora C: dico che C e D non sono primi tra loro.

Poiché A, B, C non sono primi tra loro, allora un certo numero li misura. Ora, quello che misura A, B, C misura anche A e B, e quindi misura D, la massima misura comune di A, B (Prop.7-2-Cor). Ma misura anche C, pertanto un certo numero misura i numeri D, C. D, C non sono quindi primi tra loro.

Si prenda quindi la loro massima misura comune, E (Prop.7-2). Poiché quindi E misura D, e D misura A e B, allora E misura anche A, B. Ma misura anche C, pertanto E misura A, B, C. E è quindi la misura comune di A, B, C.

Dico ora che è anche la massima. Se E non è la massima misura comune di A, B, C, allora un certo numero F, maggiore di E, misura i numeri A, B, C. Ora, poiché F misura A, B, C, misura anche A, B, misura quindi la massima misura comune di A, B. Ma la massima misura comune di A, B è D, pertanto F misura D (Prop.7-2-Cor).

E misura anche C; F misura pertanto D, C. Misura quindi la massima misura comune di D, C. Ma la massima misura comune di D, C è E, F misura quindi E, il maggiore il minore, il che è impossibile (Prop.7-2-Cor). Non si dà quindi il caso che un certo numero che sia maggiore di E misuri i numeri A, B, C.

Pertanto E è la massima misura comune di A, B, C.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna sei rette sulle quali collocare i sei segmenti
• Segmento: disegna il segmento D
• Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti A, B, C multipli di D
• Segmento: disegna il segmento E, maggiore di D e F maggiore di E

Questa proposizione costruisce il MCD(a,b,c) come MCD((a,b),c). Essendo il MCD una operazione, questa procedura può essere vista come la proprietà associativa di tale operazione, che estende l'operazione binaria, al caso di più di due operandi.

Questa dimostrazione diviene più semplice se si pensa a 1 come ad un numero. Allora, due numeri a, b sono primi tra loro, se MCD(a,b)=1.

Questa proposizione è utilizzata nella Prop.7-33.