LIBRO VII
Prop.33: Dati quanti si voglia numeri, trovare i minimi tra quelli che hanno lo stesso rapporto
Dimostrazione
Siano quanti si voglia numeri dati A, B, C: si deve pertanto trovare i minimi tra quelli che hanno lo stesso rapporto di A, B, C.
A, B, C o sono primi tra loro oppure non lo sono.
Se dunque A, B, C sono primi tra loro, allora sono i minimi tra quelli che hanno il loro stesso rapporto (Prop.7-21). Se invece no, si prenda D la massima misura comune di A, B, C. Quante volte D misura ciascuno degli A, B, C tante unità sono in ciascuno dei numeri E, F, G (Prop.7-3).
Pertanto i numeri E, F, G misurano i numeri A, B, C rispettivamente secondo le unità in D. Pertanto E, F, G misurano A, B, C le stesse volte. E, F, G stanno quindi nello stesso rapporto di A, B, C (Prop.7-16).
Dico ora che sono anche minimi.
Se E, F, G non sono minimi tra quelli che hanno lo stesso rapporto con A, B, C, allora sono numeri minori di E, F, G nello stesso rapporto con A, B, C. Siano H, K, L. Pertanto H misura A le stesse volte che K ed L misurano rispettivamente B e C.
E quante volte H misura A, tante unità sono in M. Allora anche i numeri K e L misurano i numeri B e C rispettivamente secondo le unità in M. E poiché H misura A secondo le unità in M, allora anche M misura A secondo le unità in H (Prop.7-16). Per gli stessi motivi anche M misura B e C secondo le unità in K e L rispettivamente. M misura quindi A, B, C.
E poiché H misura A secondo le unità in M, allora H moltiplicato per M produce A. Per gli stessi motivi anche E moltiplicato per D produce A (Def.7-15). Il prodotto di E e D è quindi uguale al prodotto di H e M. Pertanto E sta ad H come M sta a D (Prop.7-19). Ma E è maggiore di H, quindi anche M è maggiore di D. Ed esso misura A, B, C, il che è impossibile, essendo D stato posto come la massima misura comune di A, B, C.
Pertanto non vi sono certi numeri minori di E, F, G che stanno nello stesso rapporto con A, B, C. Pertanto E, F, G sono i minimi tra quelli che hanno lo stesso rapporto con A, B, C.
La costruzione con Geogebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
- Segmento: disegna il segmento A
- Circonferenza di raggio dato: disegna i segmenti B e C dipendenti da A (nella figura B=1.2A e C=1.6A)
- Segmento: disegna il segmento D
- Circonferenza di raggio dato: disegna i segmenti E = A/D, F = B/D, G = C/D
- Circonferenza di raggio dato: disegna i segmenti H, K, L come parte di E, F, G
- Circonferenza di raggio dato: disegna il segmento M = H/A
Questa proposizione tratta il rapporto \(a:b:c\) tra tre o più numeri. Algebricamente viene considerata una proporzione del tipo
\(a:e = b:f = c:g\)
La proposizione è utilizzata nel Libro VIII.