LIBRO VII
Prop.34: Trovare il numero minimo che misura due numeri dati
Dimostrazione
Siano A e B i due numeri dati: si deve pertanto trovare il minimo numero che li misura. A e B o sono primi tra loro oppure non lo sono. Siano in primo luogo A e B primi tra loro.
Moltiplicando A per B si produce C. Allora B moltiplicato per A produce C.
Pertanto A e B misurano C.
La costruzione con Geogebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
- Segmento: disegna i segmenti A e B
- Circonferenza di raggio dato: disegna il segmento C = AxB
- Segmento: disegna il segmento D
- Circonferenza di raggio dato: disegna i segmenti E = D/A, F = D/B
Dico ora che C è anche minimo. Se infatti no, allora A e B misurano un certo numero D minore di C. E quante volte A misura D, tante unità sono in E, quante volte B misura D, tante unità sono in F.
A moltiplicato per E produce D, e B moltiplicato per F produce D. Pertanto il prodotto di A e E è uguale al prodotto di B e F. Pertanto A sta a B come F sta a E (Prop.7-19). Ma A e B sono primi tra loro, e primi anche minimi (Prop.7-21), e i minimi misurano le stesse volte quelli che hanno lo stesso rapporto, il maggiore il maggiore e il minore il minore (Prop7-20); B misura quindi E come il conseguente il conseguente.
E poiché A moltiplicato per B e per E produce C e D, allora B sta ad E come C sta a D. Ma B misura E, pertanto anche C misura D, il maggiore il minore, il che è impossibile (Prop.7-17). Pertanto A e B non misurano un certo numero minore di C. Pertanto C è il minimo che è misurato da A e B.
A e B non siano ora primi tra loro. Si prendano F ed E, i numeri minimi tra quelli che hanno lo stesso rapporto con A e B (Prop.7-33). Pertanto il prodotto di A ed E è uguale al prodotto di B e F (Prop.7-19). A moltiplicato per E produce C. Allora B moltiplicato per F produce C. Pertanto A e B misurano C.
Dico ora che C è anche minimo. Se infatti no, allora A e B misurano un certo numero D minore di C. E quante volte A misura D, tante unità siano in G, e quante volte B misura D, tante unità siano in H.
Allora A moltiplicato per G produce D, e B moltiplicato per H produce D. Pertanto il prodotto tra A e G è uguale al prodotto di B per H. Allora A sta a B come H sta a G (Prop.7-19). Ma A sta a B come F sta a E. Pertanto F sta a E come H sta a G.
Ma F ed E sono minimi, e i minimi misurano le stesse volte quelli che hanno lo stesso rapporto, il maggiore il maggiore il maggiore e il minore il minore, pertanto E misura G (Prop.7-20). E poiché A moltiplicato per E e per G produce C e D, pertanto E sta a G come C sta a D (Prop.7-17).
Ma E misura G, pertanto anche C misura D, il maggiore il minore, il che è impossibile.
Pertanto A e B non misurano un certo numero minore di C. Pertanto C è il minimo che è misurato da A e B.
La costruzione con Geogebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
- Segmento: disegna i segmenti A, B, F, D
- Circonferenza di raggio dato: disegna il segmento E = FxB/A
- Circonferenza di raggio dato: disegna il segmento C = AxE
- Circonferenza di raggio dato: disegna i segmenti G = D/A, H = D/B
Il minimo comune multpiplo tra due numeri a e b è il più piccolo numero che è diviso da entrambi. Come noto, si indica come \(mcm(a, b)\). Questa proposizione lo costruisce come il prodotto dei due numeri diviso per il massimo comun divisore:
\(mcm(a,b) = \frac{ab}{MCD(a,b)}\)
La proposizione è utilizzata nella Prop.7-36 e nel Libro VIII.