Elementi di Euclide

Prop.19: Se quattro numeri sono in proporzione, il numero prodotto dal primo e quarto è uguale al numero prodotto dal secondo e terzo; e, se il numero prodotto dal primo e quarto è uguale a quello prodotto dal secondo e terzo, i quattro numeri sono in proporzione

Dimostrazione

Siano A, B, C, D quattro numeri in proporzione, così che A sta a B come C sta a D, e A moltiplicato per D produca E e B moltiplicato per C produca F: dico che E è uguale a F.

A moltiplicato per C produce G. Poiché, quindi, A moltiplicato per C produce G, e moltiplicato per D produce E; il numero A moltiplicato quindi per due numeri C e D produce G ed E. Pertanto C sta a D come G sta ad E. Ma C sta a D come A sta a B, pertanto A sta a B come G sta ad E (Prop.7-17).

Di nuovo, poiché A moltiplicato per C produce G, ma, anche B moltiplicato per C produce F, allora i due numeri A e B moltiplicati per un certo numero C produce G ed F. A sta quindi a B come G sta a F (Prop.7-18).

E inoltre A sta a B come G sta a E, pertanto G sta a E come G sta a F. G ha quindi rispetto a ciascuno dei due numeri E e F lo stesso rapporto. Pertanto E è uguale ad F.

Sia ora, di nuovo, E uguale a F: dico che A sta a B come C sta a D.

Con le stesse costruzioni, poiché E è uguale a F, allora G sta a E come G sta a F. Ma G sta a E come C sta a D, e G sta a F come A sta a B, pertanto A sta a B come C sta a D (Prop.7-17), (Prop.7-18).

Pertanto, se quattro numeri sono in proporzione, allora il numero prodotto dal primo e dal quarto è uguale al numero prodotto dal secondo e dal terzo; e, se il numero prodotto dal primo e dal quarto è uguale a quello prodotto dal secondo e dal terzo, allora i quattro numeri sono in proporzione.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
• Segmento: disegna i segmenti A, B, C
• Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento D = BxC/A
• Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento E = AxD e il segmento F=BxC
• Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento G = AxC

In notazione algebrica

\(a:b = c:d\) se e solo se \(ad = bc\)

Questa è la ben nota proprietà fondamentale, secondo la quale, condizione necessaria e sufficiente affinché quattro numeri siano in proporzione è che il prodotto dei medi sia uguale al prodotto degli estremi.

Questa proposizione è utilizzata nei Libri VII e IX.