LIBRO X
Prop.3: Trovare la massima misura comune di due grandezze commensurabili date
Dimostrazione
Siano le due grandezze commensurabili AB e CD, con AB la minore: si deve pertanto trovare la massima misura comune di AB, CD.
La grandezza AB o misura CD oppure no. Se la misura, e misura anche se stessa, allora AB è una misura comune di AB e CD. Ed è manifesto che è anche massima, - una grandezza maggiore di AB non misura AB.
Ora, AB non misuri CD. Allora, se la minore è continuamente sottratta in successione dalla maggiore, allora la restante misurerà prima o poi quella prima di se stessa, poiché AB e CD non sono incommensurabili (Prop.10-2). E AB, misurando ED, dia EC come resto minore di se stessa, e EC, misurando FB, dia come resto AF minore di se stessa, e AF misuri CE.
Poiché dunque AF misura CE, mentre CE misura FB, allora anche AF misura FB. Ma misura anche se stessa, pertanto AF misura anche AB totale. Ma AB misura DE, anche AF misura quindi ED. Ma misura anche CE, pertanto misura anche CD totale. AF è quindi una misura comune di AB e CD.
Dico ora che è anche massima.
Se no, allora vi è una certa grandezza G maggiore di AF che misura AB e CD. Poiché allora G misura AB, ma AB misura ED, anche G misura quindi ED. Ma misura anche CD totale, pertanto G misura la restante CE. Ma CE misura FB, anche G misura quindi FB. Ma misura anche AB totale, e pertanto misura la restante AF, il maggiore il minore, il che è impossibile.
Nessuna grandezza maggiore di AF misura quindi AB e CD. Pertanto AF è la massima misura comune di AB e CD.
Date due grandezze incommensurabili AB e CD risulta quindi trovata la loro massima misura comune.
Corollario: Da ciò è manifesto che, se una grandezza misura due grandezze, allora misura anche la loro massima misura comune.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti AB, CD, G
- Circonferenza di dato raggio: riporta due volte il segmento AB su CD, ottenendo il segmento differenza CE
- Circonferenza di dato raggio:riporta tre volte il segmento G su AB, ottenendo il segmento differenza AF
- Circonferenza di dato raggio:riporta il segmento AF sul segmento differenza CE
Questa proposizione, comprensiva del suo corollario, è analoga alla Prop.7-3 ed è utilizzata nella proposizione successiva.