LIBRO VIII
Prop.6: Se vi sono quanti si voglia numeri in proporzione continua, e il primo non misura il secondo, allora nessun altro numero misurerà nessuno
Dimostrazione
Siano quanti si voglia numeri, A, B, C, D, E, in proporzione continua, e A non misuri B: dico che nessun altro numero misura nessun altro.
è manifesto che A, B, C, D, E non si misurano di seguito tra loro; nemmeno A misura infatti B. Dico ora che neanche nessun altro misura nessuno.
Se possibile, A misuri C. Quanti sono A, B, C, si prendano tanti numeri F, G, H, i minimi tra quelli che hanno lo stesso rapporto con A, B, C. (Prop.7-33).
E poiché F, G, H sono nello stesso rapporto con A, B, C, e la molteplicità dei numeri A, B, C è uguale alla molteplicità dei numeri F, G, H, allora, tramite uguale, A sta a C come F sta a H (Prop.7-14). E poiché A sta a B come F sta a G, e A non misura B, allora nemmeno F misura G. Pertanto F non è una unità, l'unità misura infatti ogni numero.
Ora F e H sono primi tra loro. F sta a H come A sta a C, allora nemmeno A misura C (Prop.8.3). Del tutto similmente si può dimostrare che neanche nessun altro misura nessuno.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti A, B
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti C = BxB/A; D = CxC/B; E = DxD/C
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti G = BxF/A; H = CxF/A
L'enunciato della proposizione non è del tutto corretto. Se prendiamo, per esempio, i numeri \(24, 12, 6, 3\) in proporzione continua, e \(24\) non divide \(12\), ma ognuno degli altri divide gli altri, per esempio, \(3\) divide \(6\). Ma nessuno degli altri divide gli altri di seguito.
La proposizione è utilizzata nella prossima dimostrazione.