LIBRO VIII
Prop.3: Se quanti si voglia numeri in proporzione continua sono minimi tra quelli che hanno il loro stesso rapporto, allora i loro estremi sono primi tra loro
Dimostrazione
Siano A, B, C, D quanti si voglia numeri in proporzione continua e minimi tra quelli che hanno il loro stesso rapporto: dico che i loro estremi A e D sono primi tra loro.
Presi due numeri E ed F, i minimi che sono nel rapporto di A, B, C, D (Prop.7-33), poi tre altri G, H, K con la stessa proprietà, e di seguito uno in più, finché la molteplicità presa diviene uguale alla molteplicità dei numeri A, B, C, D. Siano essi L, M, N, O (Prop.8-2).
Poiché E e F sono i minimi tra quelli che hanno il loro stesso rapporto, allora essi sono primi tra loro (Prop.7-22). E poiché i numeri E e F moltiplicati per se stessi producono rispettivamente G e K, e moltiplicati per G e K producono rispettivamente L e O, allora anche G, K, L, O sono primi tra loro (Prop.8-2-Cor).
E poiché A, B, C, D sono i minimi tra quelli che hanno il loro stesso rapporto, mentre L, M, N, O sono i minimi che sono nello stesso rapporto con A, B, C, D e la moltiplicità dei numeri A, B, C, D è uguale alla molteplicità dei numeri L, M, N, O, allora i numeri A, B, C, D sono uguali rispettivamente ai numeri L, M, N, O. Pertanto A è uguale ad L, e D è uguale a O.
Ma L e O sono primi tra loro. Anche A e D sono quindi primi tra loro.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti E e F
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti G = ExE; K = FxF, L = ExG;
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti C = FxF/E; A = E/FxF, B = AxF/E; D = CxC/B
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti M = LxB/A; N = MxM/L; H =GxG/F
Questa proposizione è l'inversa della Prop.8-1.
Questa proposizione è usata nel Libro VIII.