LIBRO VIII
Prop.4: Dati quanti si voglia rapporti in numeri minimi, trovare numeri in proporzione continua che sono minimi nei rapporti dati
Dimostrazione
Siano i rapporti dati in numeri minimi quello di A con B, quello di C con D, e quello di E con F: si deve pertanto trovare numeri in proporzione continua che sono minimi nel rapporto sia di A con B, sia di C con D, sia di E con F.
Si prenda G, il numero minimo misurato da B e C (Prop.7-34). E quante volte B misura G, tante volte anche A misura H, e quante volte C misura G, tante volte D misura K. Ed E o misura o non misura K.
In primo luogo lo misuri. E quante volte E misura K, tante volte anche F misura L.
E poiché A misura H le stesse volte con cui B misura G, allora A sta a B come H sta a G (Prop.7-13). Per gli stessi motivi C sta a D come G sta a K, ed E sta a F come K sta a L. Pertanto H, G, K, L sono in proporzione continua nel rapporto di A con B, di C con D, e di E con F.
Dico ora che sono anche minimi.
Se H, G, K, L non sono i minimi in proporzione continua nel rapporto di A con B, di C con D, e di E con F, siano questi N, O, M, P. E poiché A sta a B come N sta a O, mentre A e B sono i minimi, e i minimi misurano quelli che hanno il loro stesso rapporto, il maggiore il maggiore, il minore il minore, cioè, l'antecedente l'antecedente e il conseguente il conseguente, allora B misura O (Prop.7-20).
Per gli stessi motivi anche C misura O. Pertanto B e C misurano O. Il numero minimi misurato da B e C misura quindi anche O (Prop.7-35). Ma G è il minimo misurato da B e C, pertanto G misura O, il maggiore il minore, il che è impossibile. Pertanto non vi sono numeri minori di H, G, K, L che sono di seguito nel rapporto di A con B, di C con D, e di E con F.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti A, B, C, D, E, F
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti G =aB (con a=1.5 in figura); H = AxG/B
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti K = GxD/C; L = KxF/E;
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti N = BxC; O = NxB/A; M = BxD; P = FxM/E
Ed E non misuri ora K.
Si prenda M, il numero minimo misurato da E e K. Quante volte K misura M, tante volte anche uno e l'altro dei numeri H, G misura uno e l'altro dei numeri N, O, e quante volte E misura M, tante volte anche F misuri P. Poiché H misura N le stesse volte con cui G misura O, allora H sta a G come N sta a O. Ma H sta a G come A sta a B, pertanto A sta a B come N sta a O. Per gli stessi motivi C sta a D come O sta a M (Prop.7-13).
Di nuovo, poiché E misura M le stesse volte con cui F misura P, allora E sta a F come M sta a P. Pertanto N, O, M, P sono in proporzione continua nei rapporti di A con B, di C con D, e di E con F (Prop.7-13).
Dico ora che sono anche minimi nei rapporti A B, C D, E F. Se infatti no, vi sono numeri minori di N, O, M, P in proporzione continua nei rapporti A B, C D, E F. Siano Q, R, S, T.
E poiché Q sta a R come A sta a B, mentre A e B sono minimi, e i numeri minimi misurano le stesse volte quelli che hanno il loro stesso, l'antecedente l'antecedente e il conseguente il conseguente (Prop.7-20), allora B misura R. Per gli stessi motivi anche C misura R, pertanto B e C misurano R. Pertanto il numero minimo misurato da B e C misura anche R (Prop.7-35). Ma G è il numero minimo misurato da B e C; G misura quindi R.
Ma G sta a R come K sta a S, pertanto anche K misura S (Prop.7-13). Ma anche E misura S. Pertanto E e K misurano S. Pertanto il minimo misurato da E e K misura anche S. Ma M è il minimo misurato da E e K, pertanto M misura S, il maggiore il minore, il che è impossibile.
Non vi saranno quindi numeri minori di N, O, M, P in proporzione continua nei rapporti di A con B, di C con D, e di E con F. Pertanto N, O, M, P sono i numeri minimi in proporzione continua nei rapporti A B, C D, E F.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti A, B, C, D, E, F
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti G = BxC; K = BxD, M = ExK;
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti N = MxH/K; O = NxG/H, P = MxF/E;
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti Q = aG (a<1); R = QxB/A; S =RxK/G; T = FxS/E
Questa è una generalizzazione della Prop.8-2. Qui viene considerato il caso di proporzioni continue aventi rapporti non necessariamente costanti. Sarebbe meglio indicarli con rapporti continui.
Si inizia con tre rapporti dati \(a:b\), \(c:d\), \(e:f\), tutti ridotti ai minimi termini. Per prima cosa i due rapporti \(a:b\), \(c:d\) sono inseriti in un rapporto a tre termini \(h:g:k\) di modo che \(h:g = a:b\) e \(g:k = c:d\), dove \(g = mcm(b,c)\), \(h = \frac{g}{b} \times a\) e \(k = \frac{g}{c} \times d\). Allora \(h:g:k\) ha rapporti corretti. Poi il rapporto a tre \(h:g:k\) è inserito nel rapporto \(e:f\) per avere un rapporto a quattro termini \(n:o:m:p\) così che \(n:o = a:b\), \(o:m = c:d\), e \(m:p = c:d\). Anche qui \(m = mcm(e,k)\), \(n = \frac{m}{k}\times h\), e \(o = \frac{m}{k} \times g\) e \(p = \frac{m}{e} \times f\). Di nuovo, \(n:o:m:p\) ha rapporti corretti.
Questa proposizione è usata nel Libro X.