LIBRO VII
Prop.13: Se quattro numeri sono in proporzione, allora essi sono anche in proporzione alternata
Dimostrazione
Siano quattro numeri A, B, C, D in proporzione, così che A sta a B come C sta a D: dico che anche alternando sono proporzionali, così che A sta a C come B sta a D.
Poiché A sta a B come C sta a D, allora A è la stessa parte o parti di B come C lo è di D (Def.7-20).
Alternando quindi, A è la stessa parte o parti di C come B lo è di D (Prop.7-10). A sta quindi a C come B sta a D (Def.7-20).
Se quindi quattro numeri sono in proporzione, allora essi sono anche in proporzione alternata.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna quattro rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti A, B, C
- Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento D = BxC/A
Questa proposizione è analoga alla Prop.5-16, relativa alle relazioni tra grandezze.
In notazione algebrica
se \(a:b = c:d\) allora \(a:c = b:d\)
Questa è la ben nota proprietà delle proporzioni, che consente lo scambio tra i due medi.
Questa proposizione è utilizzata nei Libri VII e IX.