LIBRO VII
Prop.10: Se un numero è parte di un numero, e un altro è la stessa parte di un altro, anche alternando, qualunque parte delle parti il primo è del terzo, la stessa parte, o le stesse parti, il secondo è del quarto
Dimostrazione
Sia il numero A una parte del numero BC, e un altro numero D sia la stessa parte di un altro numero EF quella che A è di BC: dico che alternando, BC è la stessa parte o parti di EF quella che A è di D.
Poiché D è la stessa parte di EF quella che A è di BC, allora quanti numeri vi sono in BC uguali ad A tanti ve ne sono anche in EF uguali a D.
Si divida BC nei numeri uguali ad A, cioè BG e GC, e si divida EF in quelle uguali a D, cioè EH e HF. Allora la molteplicità di BG e GC è uguale alla molteplicità di EH e HF.
E poiché i numeri BG e GC sono uguali tra loro, e anche i numeri EH e HF sono uguali tra loro, mentre la molteplicità di BG e GC è uguale alla molteplicità di EH e HF, allora GC è la stessa parte o parti di HF quella che BG è di EH, così che, inoltre, la somma BC è la stessa parte o parti della somma EF quella che BG è di EH (Prop.7-5 e Prop.7-6).
Ma BG è uguale ad A, ed EH è uguale a D; BC è quindi la stessa parte o parti di EF quella che A è di D.
Se quindi un numero è parte di un numero, e un altro è la stessa parte di un altro, anche alternando, qualunque parte delle parti il primo è del terzo, la stessa parte, o le stesse parti, il secondo è del quarto.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna quattro rette sulle quali collocare i quattro segmenti
- Segmento: disegna i segmenti A e D
- Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento BC = 2A e il segmento EF = 2D
In questa proposizione, Euclide mostra che
se \(a = (\frac{m}{n})b\) e \(d = (\frac{m}{n})e\) e se \(a = (\frac{p}{q})d\) allora \(b = (\frac{p}{q})e\)
Il valore preso come esempio per \(\frac{m}{n}\) nella dimostrazione è \(\frac{2}{3}\)
Questa proposizione è utilizzata nella (Prop.7-13).