LIBRO VII
Prop.6: Se un numero è parti di un numero, e un altro è le stesse parti di un altro, anche la somma è la stessa parte della somma come uno solo di essi con uno solo di essi
Dimostrazione
Sia il numero AB parti del numero C, e un altro numero DE le stessi parti di un altro numero F come AB lo è di C: dico che anche la somma di AB e DE è le stesse parti della somma di C e F come AB lo è di C.
Poiché quante parti è AB di C, altrettante parti è anche DE di F; quante parti di C vi sono quindi in AB altrettanti parti di F sono anche in DE.
Divido AB nelle parti di C, cioè AG e GB, e divido DE nelle parti di F, cioè DH e HE. Allora la molteplicità di AG e GB è uguale alla molteplicità di DH e HE. E poiché DH è la stessa parte di F come quella di AG lo è di C, allora la somma di AG e DH è la stessa parte della somma di C e F come quella di AG lo è di C. Per gli stessi motivi, la somma di GB e HE è la stessa parte della somma di C e F come GB lo è di C (Prop.7-5).
Pertanto la somma di AB e DE è la stessa parte della somma di C e F come lo è AB di C.
Se un numero è quindi parti di un numero, e un altro è le stesse parti di un altro, anche la somma è la stessa parte della somma come uno solo di essi con uno solo di essi.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna quattro rette sulle quali collocare i quattro segmenti
- Segmento: disegna i segmenti C e F
- Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento AB = 2C/3 e il segmento DB = 2F/3
- Punto Medio: segna i punti medi dei segmenti AB e DE
In notazione algebrica:
se \(a = (\frac{m}{n})b\) e \(d = (\frac{m}{n})e\) allora \(a+d = (\frac{m}{n})(b+e)\)(
Sotto forma di equazione,
\((\frac{m}{n})b + (\frac{m}{n})e = (\frac{m}{n})(b+e)\)
Questa proposizione è utilizzata nella (Prop.7-9).