LIBRO VII
Prop.5: Se un numero è parte di un numero, e un altro è la stessa parte di un altro, messo insieme di messo insieme sarà la stessa parte che uno solo di uno solo
Dimostrazione
Sia il numero A una parte di BC, e un altro numero D la stessa parte di un altro numero EF come A di BC: dico che anche la somma di A e D sta a alla stessa parte della somma di BC e EF come A sta a BC.
Poiché, qualunque parte A lo è di BC, anche D è la stessa parte di EF, pertanto, quanti numeri vi sono in BC uguali ad A, tanti ve ne sono anche in EF uguali a D. Si divida BC in BG e GC uguali ad A, e EF nei numeri EG e GF uguali a D. Allora la molteplicità di BG e GC è uguale alla molteplicità di EH e HF.
E poiché BG è uguale ad A, e EH è uguale a D, allora anche la somma di BG e EH è uguale alla somma di A e D. Per gli stessi motivi anche la somma di GC e HF è uguale alla somma di A e D.
Quanti numeri sono quindi in BC uguali ad A, tanti sono anche in BC e EF uguali ad A e D. Pertanto, la somma di BC e EF è lo stesso multiplo della somma di A e D come BC lo è di A. La somma di A e D è pertanto la stessa parte della somma di BC ed EF come A di BC.
Se un numero quindi è parte di un numero, e un altro è la stessa parte di un altro, messo insieme di messo insieme sarà la stessa parte che uno solo di uno solo.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna quattro rette sulle quali collocare i quattro segmenti
- Segmento: disegna i segmenti A e D
- Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento BC = 2A e il segmento EF = 2D
Questa proposizione affronta la validità della proprietà distributiva della divisione e moltiplicazione rispetto all'addizione e sottrazione. In questo caso la divisione è distribuita sull'addizione. In notazione algebrica,
se \(a = \frac{b}{n}\) e \(d = \frac{e}{n}\), allora \(a+d = \frac{b+e}{n}\).
Sotto forma di equazione, si scrive
\(\frac{b}{n} + \frac{e}{n} = \frac{b+e}{n}\)
Questa proposizione è utilizzata nelle dimostrazioni delle successive cinque.