LIBRO VII
Prop.14: Se quanti si voglia numeri, e altri uguali in molteplicità ad essi, che presi due a due sono nello stesso rapporto, allora essi sono anche nello stesso rapporto tramite uguale
Dimostrazione
Siano quanti si voglia numeri A, B, C e altri uguali ad essi in molteplicità D, E, F, che presi due a due stanno nello stesso rapporto, così che A sta a B come D sta a E e B sta a C come E sta a F: dico che anche tramite uguale A sta a C come D sta a F.
Poiché A sta a B come D sta a E, allora, alternando, A sta a D come B sta a E (Prop.7-13).
Di nuovo, poiché B sta a C come E sta a F, allora, alternando B sta a E come C sta a F. Ma B sta a E come A sta a D; A sta quindi a D come C sta a F. Pertanto, alternando, A sta a C come D sta a F.
Se quindi quanti si voglia numeri, e altri uguali in molteplicità ad essi, che presi due a due sono nello stesso rapporto, allora essi sono anche nello stesso rapporto tramite uguale.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna tre rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti A, B, C, D
- Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento E = BxD/A e il segmento F = CxE/B
Questa proposizione è l'analoga numerica della Prop.5-22, riguardante le relazioni tra grandezze. In notazione algebrica:
se \(x_1:x_2 = y_1:y_2\ = x_3:y_3 = ... = x_n:y_n\) allora \(x_1:x_n = y_1:y_n\)
Questa proposizione è utilizzata nel Libro VIII.