LIBRO X
Prop.36: Se si sommano due rette razionali commensurabili solo in potenza, allora quella totale è irrazionale e sia chiamata binomiale
Dimostrazione
Siano composte insieme due rette razionali AB e BC commensurabili soltanto in potenza: dico che AC totale è irrazionale.
Poiché AB è incommensurabile in lunghezza con BC, sono essi infatti commensurabili solo in potenza, e AB sta a BC come il rettangolo AB per BC sta al quadrato su BC, allora il rettangolo AB per BE è incommensurabile con il quadrato su BC (Prop.10-11).
Ma il doppio del rettangolo AB per BC è commensurabile con il rettangolo AB per BC (Prop.10-6), e la somma dei quadrati su AB e BC è commensurabile con il quadrato su BC, AB e BC sono infatti rette razionali commensurabili soltanto in potenza (Prop.10-15), allora il doppio del rettangolo AB per BC è incommensurabile con la somma dei quadrati su AB e BC (Prop.10-13).
E, presi congiuntamente, il doppio del rettangolo AB per BC insieme con i quadrati su AB e BC, cioè, il quadrato su AC (Prop.2-4), è incommensurabile con la somma dei quadrati su AB e BC (Prop.10.16)
Ma la somma dei quadrati su AB e BC è razionale, pertanto il quadrato su AC è irrazionale, così che anche AC è irrazionale (Def.10-4). Sia chiamata binomiale.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AB e BC adiacenti
Questa proposizione trova numerose applicazoni nel Libro X. In essa si introduce una nuova retta irrazionale, la binomiale, come somma di due rette razionali commensurabili solo in potenza (sui loro quadrati). Si può esprimere come \(a + \sqrt{b}\)