LIBRO X
Prop.16: Se due grandezze incommensurabili sono sommate, anche quella totale è incommensurabile con ognuna di esse; ma, se la somma è incommensurabile con una sola di esse, allora anche le grandezze in origine sono incommensurabili
Dimostrazione
Siano composte insieme due grandezze incommensurabili AB, BC: dico che anche AC totale è incommensurabile con una e l'altra delle AB, BC.
Se infatti CA e AB non sono incommensurabili, allora una certa grandezza D le misura. Poiché D misura CA e AB, allora misura anche la restante BC. Ma misura anche AB, pertanto D misura AB e BC. AB e BC sono quindi commensurabili, ma erano state supposte incommensurabil, il che è impossibile.
Nessuna grandezza quindi misura CA e AB. CA e AB sono quindi incommensurabili (Def.10-1). Analogamente si può dimostrare che anche AC e CB sono incommensurabili. AC è quindi incommensurabile con ognuna delle grandezze AB e BC.
Ma ora sia AC incommensurabile con una delle grandezze AB o BC.
In primo luogo sia incommensurabile con AB: dico che anche AB e BC sono incommensurabili.
Se infatti sono commensurabili, allora una certa grandezza D le misura. Poiché D misura AB e BC, allora misura anche AC totale. Ma misura anche AB, pertanto D misura CA e AB. CA e AB sono quindi commensurabili, ma erano state supposte incommensurabili, il che è impossibile.
Nessuna grandezza misura quindi AB e BC. AB e BC sono pertanto incommensurabili (Def.10-1).
Se quindi due grandezze incommensurabili sono sommate, anche quella totale è incommensurabile con ognuna di esse; ma, se la somma è incommensurabile con una sola di esse, allora anche le grandezze in origine sono incommensurabili.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i due segmenti AC e D
- Punto: traccia il punto B appartenente al segmento AC
Questa proposizione è ampiamente usata nel Libro X.