LIBRO X
Lemma: Se a una certa retta è applicato un parallelogrammo che fa difetto di un quadrato, allora il parallelogrammo applicato è uguale al rettangolo contenuto dai segmenti della retta risultante dall'applicazione
Dimostrazione:
Sia applicato ad una retta AB un parallelogrammo AD che fa difetto di un quadrato D: dico che AD è uguale al rettangolo contenuto da AC, CB.
Ed è immediatamente manifesto, poiché, infatti, DB è un quadrato, DC è uguale a CB, e AD è il rettangolo AC per CD, cioè, il rettangolo AC per CB.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i due segmenti AC, BC
- Poligono regolare: disegna il quadrato di lato BC
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare al lato AC passante per A
- Circonferenza di dato raggio: disegna una circonferenza di raggio uguale al quadrato di lato BC, che interseca in un punto la perpendicolare.
- Poligono: disegna il rettangolo AD
Prop.17: Se vi sono due rette disuguali, e alla maggiore è applicato un parallelogrammo uguale alla quarta parte del quadrato sulla minore ma facente difetto per un quadrato, e se la divide in parti commensurabili in lunghezza, allora il quadrato sulla maggiore è maggiore del quadrato sulla minore di un quadrato su una retta commensurabile con la maggiore. E se il quadrato sulla maggiore è maggiore del quadrato sulla minore per il quadrato sulla retta commensurabile con la maggiore, e se è applicato alla maggiore un parallelogrammo uguale alla quarta parte del quadrato sulla minore facente difetto di un quadrato, allora la divide in parti commensurabili in lunghezza
Dimostrazione
Siano due rette disuguali A, BC, con BC maggiore, e sia applicato a BC un parallelogrammo uguale alla quarta parte del quadrato sulla minore A, cioè uguale al quadrato sulla metà di A, ma facente difetto di una figura quadrata. Sia questa il rettangolo BD per DC, e sia BD commensurabile in lunghezza con DC: dico che il quadrato su BC è maggiore del quadrato su A per il quadrato su una retta commensurabile con BC ( Lemma).
Sia secata BC a metà nel punto E (Prop.1-10), e si prenda EF uguale a DE (Prop.1-3). La restante DC è quindi uguale a BF. Ma, poiché la retta BC risulta secata in segmenti uguali a E, e in disuguali a D, allora il rettangolo BD per DC, insieme con il quadrato su ED, è uguale al quadrato su EC (Prop.2-5).
E la stessa cosa è vera per i loro quadrupli, pertanto quattro volte il rettangolo BD per DC, insieme a quattro volte il quadrato su DE, è uguale a quattro volte il quadrato su EC. Ma il quadrato su A è uguale a quattro volte il rettangolo BD per DC, e il quadrato su DF è uguale a quattro volte il quadrato su DE, infatti DF è il doppio di DE. E il quadrato su BC è uguale a quattro volte il quadrato su EC, infatti ancora BC è il doppio di CE.
La somma dei quadrati su A e DF è quindi uguale al quadrato su BC, così che il quadrato su BC è maggiore del quadrato su A per il quadrato su DF: si deve anche dimostrare che BC è commensurabile con DF.
Poiché BD è commensurabile in lunghezza con DC, allora anche BC è commensurabile in lunghezza con CD (Prop.10-15). Ma CD è commensurabile in lunghezza con CD e BF, CD è infatti uguale a BF (Prop.10-6). Anche BC è quindi commensurabile in lunghezza con BF e CD, così che anche BC è commensurabile in lunghezza con il restante FD (Prop.10-12). Il quadrato su BC è quindi maggiore del quadrato su A per il quadrato su una retta commensubile con BC (Prop.10-15).
Sia ora il quadrato su BC maggiore del quadrato su A per il quadrato su una retta commensurabile con BC. Si applichi a BC un parallelogrammo uguale alla quarta parte del quadrato su A ma facente difetto di una forma quadrata, e sia il rettangolo BD per DC: si deve dimostrare che BD è commensurabile in lunghezza con DC.
Con la stessa costruzione, si può dimostrare similmentte che il quadrato su BC è maggiore del quadrato su A per il quadrato su FD. Ma il quadrato su BC è maggiore del quadrato su A per il quadrato su una retta commensurabile con BC.
BC è quindi commensurabile in lunghezza con FD, così che anche BC è commensurabile in lunghezza con il restante, la somma di BF e DC. Ma la somma di BF e DC è commensurabile con DC (Prop-10-6), così che anche BC è commensurabile in lunghezza con CD (Prop.10-12), e pertanto, presi separatamente, BD è commensurabile in lunghezza con DC (Prop.10-15).
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i due segmenti A, BC
- Punto Medio: traccia il punto medio, E, di BC e il punto medio, F, di EC
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di cetrno E e raggio DE = sqrt(BCxBC-AxA)/2, che interseca il segmento BC in E e F.
- Segmento: disegna i segmenti BD e DC
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento altezza del rettangolo di base BD=DC
- Perpendicolare: completa il rettangolo
La costruzione risolve l'equazione \[x^2 = bx-\frac{a^2}{4}\] dove \(b\) indica il segmento maggiore \(BC\) e \(a\) il segmento \(A\). La soluzione è rappresentata dal segmento \(DC\) che è esprimibile con \[x=\frac{b-\sqrt{b^2-a^2}}{2}\] Allora la proposizione afferma che il rapporto \(b:x\) è un rapporto numerico se e solo se il rapporto \[\frac{b^2-a^2}{b}\] è un rapporto numerico.
Euclide esprime qui quella che noi oggi indichiamo come condizione per l'esistenza di due soluzioni razionali per una equazione di secondo grado.