LIBRO X
Prop.18: Se vi sono due rette disuguali, e alla maggiore è applicato un parallelogrammo uguale alla quarta parte del quadrato sulla minore ma facente difetto di un quadrato, e se la divide in parti incommensurabili, allora il quadrato sulla maggiore è maggiore del quadrato sulla minore per il quadrato su una retta incommensurabile con la maggiore. E se il quadrato sulla maggiore è maggiore del quadrato sulla minore per il quadrato sulla retta incommensurabile con la maggiore, e se è applicato alla maggiore un parallelogrammo uguale alla quarta parte del quadrato sulla minore ma dacente difetto per un quadrato, allora la divide in parti incommensurabili
Dimostrazione
Siano due rette disuguali A, BC, con BC maggiore, e sia applicato a BC un parallelogrammo uguale alla quarta parte del quadrato sulla minore A, ma facente difetto di una figura quadrata. Sia questa il rettangolo BD per DC, e sia BD incommensurabile in lunghezza con DC: dico che il quadrato su BC è maggiore del quadrato su A per il quadrato su una retta incommensurabile con BC.
Con la stessa costruzione del teorema precedente (Prop.10.17), si può dimostrare similmente che il quadrato su BC è maggiore del quadrato su A per il quadrato su FD. Va dimostrato che BC è incommensurabile in lunghezza con DF.
Poiché BD è incommensurabile in lunghezza con DC, allora BC è incommensurabile in lunghezza anche con CD (Prop.10-16). Ma DC è commensurabile con la somma di BF e DC (Prop.10-6); allora BC è incommensurabile con la somma di BF e DC (Prop.10-13), così che anche BC è incommensurabile in lunghezza con il restante FD (Prop.10-16).
E il quadrato su BC è maggiore del quadrato su A per il quadrato su FD, pertanto il quadrato su BC è maggiore del quadrato su A per il quadrato su una retta incommensurabile con BC.
Di nuovo, sia il quadrato su BC maggiore del quadrato su A per il quadrato su una retta incommensurabile con BC. Si applichi a BC un parallelogrammo uguale alla quarta parte del quadrato su A ma facente difetto di una forma quadrata. Sia questa il rettangolo BD per DC.
Se infatti sono commensurabili, allora una certa grandezza D le misura. Poiché D misura AB e BC, allora misura anche AC totale. Ma misura anche AB, pertanto D misura CA e AB. CA e AB sono quindi commensurabili, ma erano state supposte incommensurabili, il che è impossibile: va dimostrato che BD è incommensurabile in lunghezza con DC.
Con la stessa costruzione, si dimostra similmente che il quadrato su BC è maggiore del quadrato su A per il quadrato su FD.
Ma il quadrato su BC è maggiore del quadrato su A per il quadrato su una retta incommensurabile con BC, pertanto BC è incommensurabile in lunghezza con FD, così che anche BC è incommensurabile con il restante, la somma di BF e DC (Prop.10-16). Ma la somma di BF e DC è commensurabile in lunghezza con DC, pertanto anche BC è incommensurabile in lunghezza con DC, così che, presi separatamente, anche BD è incommensurabile in lunghezza con DC.
Se quindi siano due rette disuguali, e quello che segue.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i due segmenti AC, BC
- Poligono regolare: disegna il quadrato di lato BC
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare al lato AC passante per A
- Circonferenza di dato raggio: disegna una circonferenza di raggio uguale al quadrato di lato BC, che interseca in un punto la perpendicolare.
- Poligono: disegna il rettangolo AD
Questa proposizione è ancora usata nel Libro X.