LIBRO X
Prop.12: Grandezze commensurabili con la stessa grandezza sono anche commensurabili tra loro
Dimostrazione
Siano A, B entrambe commensurabili con C: dico che anche A è commensurabile con B.
Poiché A è commensurabile con C, allora A ha con C il rapporto che un numero ha con un numero. Abbia il rapporto che D ha con E. Di nuovo, poiché C è commensurabile con B, allora C ha con B il rapporto che un numero ha con un numero. Abbia il rapporto che F ha con G (Prop.10-5).
E dati quanti si voglia rapporti, sia quello che D ha con E sia quello che F ha con G, si prendano i numeri H, K, L di seguito nei rapporti dati (Prop.8-4), così che D sta a E come H sta a K, e F sta a G come K sta a L.
Poiché A sta a C come D sta a E, mentre D sta a E come H sta a K, allora A sta a C come H sta a K. Di nuovo, poiché C sta a B come F sta a G, mentre F sta a G come K sta a L, allora C sta a B come K sta a L Prop.5-11).
Ma A sta a C come H sta a K, pertanto, tramite uguale, A sta a B come H sta a L (Prop.5-22). A ha quindi con B il rapporto che un numero ha con un numero. A è quindi commensurabile con B (Prop.10-6).
Le grandezze quindi commensurabili con la stessa grandezza sono anche commensurabili tra loro.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i tre segmenti A, B, C,
- Segmento: disegna i segmenti D, F, H(intesi come numero)
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento E = DxC/A; G = BxF/C; K = HxE/D; L = GxK/F
Questa proposizione è utilizzata numerose volte nel Libro X e anche nel Libro XIII. Essa esprime quella che per noi oggi è la proprietà transitiva della commensurabilità. La commensurabilità gode anche delle proprietà riflessiva e simmetrica e rientra quindi nelle cosiddette relazioni di equivalenza.
Lo stesso non si può dire per la incommensurabilità che non gode delle proprietà riflessiva e transitiva. Esempio: il lato e il perimetro di un quadrato sono incommensurabili con la diagonale, ma lato e perimetro sono commensurabili tra loro.