LIBRO X
Prop.11: Se quattro grandezze sono in proporzione, e la prima è commensurabile alla seconda, allora anche la terza è commensurabile alla quarta; ma, se la prima è incommensurabile alla seconda, allora anche la terza è incommensurabile alla quarta
Dimostrazione
Siano A, B, C, D quattro grandezze in proporzione, coì che A sta a B come C sta a D, e A sia commensurabile con B: dico che anche C è commensurabile con D.
Poiché A è commensurabile con B, allora A ha con B il rapporto che un numero ha con un numero (Prop.10-5).
Ma A sta a B come C sta a D, quindi anche C ha con D il rapporto che un numero ha con un numero (Prop.5-11). C è quindi commensurabile con D (Prop.10-6).
Sia ora A incommensurabile con B: dico che anche C è incommensurabile con D.
Poiché A è incommensurabile con B, allora A non ha con B il rapporto che un numero ha con un numero (Prop.10-6). Ma A sta a B come C sta a D, neanche C ha quindi con D il rapporto che un numero ha con un numero (Prop.5-11). C è allora incommensurabile con D (Prop.10-6).
Se quindi quattro grandezze sono in proporzione, e la prima è commensurabile alla seconda, allora anche la terza è commensurabile alla quarta; ma, se la prima è incommensurabile alla seconda, allora anche la terza è incommensurabile alla quarta.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i tre segmenti A, B, C
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento D = BxC/A
Questa proposizione è utilizzata numerose volte nel Libro X a partire dalla Prop.10-14. Essa stabilisce che date quattro grandezze, \(a,b,c,d\), se \(a:b = c:d\) e inoltre \(a\) è commensurabile con \(b\), allora anche \(c\) lo è con \(d\). Lo stesso dicasi per l'incommensurabilità.