LIBRO X
Lemma: Date due rette disuguali, trovare per quale quadrato il quadrato sulla maggiore è maggiore del quadrato sulla minore
Dimostrazione
Siano date le due rette disuguali AB e C, con AB la maggiore: si deve pertanto trovare per quale quadrato il quadrato su AB è maggiore del quadrato su C.
Si tracci su AB il semicerchio ADK, e in esso si adatti AD uguale C, e si congiunga DB (Prop.4-1). è allora manifesto che l'angolo ADB è retto (Prop.3-31), e che il quadrato su AB è maggiore del quadrato su AD (Prop.1-47), cioè, C, per il quadrato su DB.
E similmente, se sono date due rette, allora la retta il quadrato sulla quale è uguale alla somma dei quadrati su di esse è trovata in questo modo. Siano AD e DB le due rette date, e si debba trovare la retta il quadrato sulla quale è uguale alla somma dei quadrati su di esse. Siano fissate in modo da comprendere un angolo retto ADB, e si congiunga AB.
è allora manifesto che la retta il quadrato sulla quale è uguale alla somma dei quadrati su AD e DB è AB (Prop.1-47).
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i due segmenti AB, C
- Semicerchio per due punti: disegna il semicerchio di diametro AB
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro A e raggio C, che interseca il semicerchio in D
- Poligono: disegna il triangolo ADB
Prop.14: Se quattro rette sono in proporzione, e il quadrato sulla prima è maggiore del quadrato sulla seconda per il quadrato sulla retta commensurabile con la prima, allora anche il quadrato sulla terza è maggiore del quadrato sulla quarta per il quadrato sulla terza commensurabile con la terza. E, se il quadrato sulla prima è maggiore del quadrato sulla seconda per il quadrato sulla retta incommensurabile con la prima, allora anche il quadrato sulla terza è maggiore del quadrato sulla quarta per il quadrato sulla terza incommensurabile con la terza
Dimostrazione
Siano A, B, C, D quattro rette in proporzione, così che A sta a B come C sta a D, e sia il quadrato su A maggiore del quadrato su B per il quadrato su E, e sia il quadrato su C maggiore del quadrato su D per il quadrato su F: dico che, se A è commensurabile con E, allora anche C è commensurabile con F, e, se A è incommensurabile con E, allora anche C è incommensurabile con F.
Poiché A sta a B come C sta a D, allora il quadrato su A sta al quadrato su B come il quadrato su C sta al quadrato su D (Prop.6-22).
Ma la somma dei quadrati su E e B è uguale al quadrato su A, e la somma dei quadrati su D e F è uguale al quadrato su C. La somma dei quadrati su E e B sta quindi al quadrato su B come la somma dei quadrati su D e F sta al quadrato su D. Pertanto, prese separatamente (Prop.5-17), il quadrato su E sta al quadrato su B come il quadrato su F sta al quadrato su D (Prop.6-22). Allora E sta a B come F sta a D. Invertendo, B sta a E come D sta a F (Prop.5-7-Cor).
Ma A sta a B come C sta a D, pertanto, tramite uguale, A sta a E come C sta a F (Prop.5-22). Se quindi A è commensurabile con E, allora anche C è commensurabile con F, ma se A è incommensurabile con E, allora C anche è incommensurabile con F (Prop.10-11).
Se quindi quattro rette sono in proporzione, e il quadrato sulla prima è maggiore del quadrato sulla seconda per il quadrato sulla retta commensurabile con la prima, allora anche il quadrato sulla terza è maggiore del quadrato sulla quarta per il quadrato sulla terza commensurabile con la terza. E, se il quadrato sulla prima è maggiore del quadrato sulla seconda per il quadrato sulla retta incommensurabile con la prima, allora anche il quadrato sulla terza è maggiore del quadrato sulla quarta per il quadrato sulla terza incommensurabile con la terza.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i tre segmenti A, B, C
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento D = BxC/A
- Circonferenza di dato raggio: disegna i segmenti E = sqrt(AxA - BxB); F = sqrt (CxC - DxD)
Questa proposizioneè utilizzata ampiamente in questo Libro. In essa si afferma che, date quattro grandezze proporzionali \(a,b,c,d\), se \(a^2-b^2 = e^2\) (dove \(e\) è la retta commensurabile con \(a\)), allora \(c^2-d^2 = f^2\) (dove \(f\) è la retta commensurabile con \(c\)).