LIBRO X
Prop.35: Trovare due rette incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su di esse mediali e il rettangolo contenuto da esse mediale e ancora incommensurabile con la somma dei quadrati su di esse
Dimostrazione
Siano fissate due rette mediali AB e BC commensurabili soltanto in potenza, che comprendono un rettangolo mediale, tale che il quadrato su AB sia maggiore del quadrato su BC per il quadrato su una retta incommensurabile con AB. Si tracci il semicerchio ADB su AK, e il resto risulti similemente a quanto fatto sopra (Prop.10-31).
Poiché AF è incommensurabile in lunghezza con FB, allora anche AD è incommensurabile in potenza con DB (Prop.10-11). E poiché il quadrato su AB è mediale (Prop.3-31), allora anche la somma dei quadrati su AD e DB è mediale (Prop.1-47).
Poiché il rettangolo AF per FB è uguale al quadrato su ognuna delle rette BE, DF, allora BE è uguale a DF. BC è quindi doppio di FD, così che anche il rettangolo AB per BC è doppio del rettangolo AB per FD. Ma il rettangolo AB per BC è mediale, anche il rettangolo AB per FD è quindi mediale (Prop.10-32-Cor). Ed è uguale al rettangolo AD per DB, anche il rettangolo AD per DB è quindi mediale (Prop.10-33-Lemma).
Poiché AB è incommensurabile in lunghezza con BC, mentre CB è commensurabile con BE, allora anche AB è incommensurabile in lunghezza con BE (Prop.10-13), così che anche il quadrato su AB è incommensurabile con il rettangolo AB per BE (Prop.10-11).
Ma la somma dei quadrati su AD e DB è uguale al quadrato su AB, e il rettangolo AB per FD, cioè il rettangolo AD per DB, è uguale al rettangolo AB per BE, pertanto la somma dei quadrati su AD e DB è incommensurabile con il rettangolo AD per DB (Prop.1-47).
Risultano quindi trovate due rette AD e DB incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su di esse mediali e il rettangolo contenuto da esse mediale e ancora incommensurabile con la somma dei quadrati su di esse.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AB e BC adiacenti
- Punto Medio: traccia il punto medio E di BC
- Semicirconferenza per due punti: disegna la semicirconferenza di diametro AB
- Punto: traccia il punto F sul segmento AB
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare a BA passante per F, che interseca la semicirconferenza in D
- Poligono: disegna il triangolo ABD