LIBRO X
Lemma:
Sia ABC un triangolo rettangolo che ha retto A, e sia condotta la perpendicolare AD: dico che il rettangolo CB per BD è uguale al quadrato su BA, il rettangolo BC per CD è uguale al quadrato su CA, il rettangolo BD per DC è uguale al quadrato su AD, e il rettangolo BC per AD è uguale al rettangolo BA per AC.
E per primo, che il rettangolo CB per BD è uguale al quadrato su BA.
Poiché in un triangolo rettangolo è stata condotta AD dall'angolo retto perpendicolare alla base, allora i triangoli ABD, ADC sono entrambi simili ad ABC totale e tra loro (Prop.6-8). E poiché il triangolo ABC è simile al triangolo ABD, allora CB sta a BA come BA sta a BD (Prop.6-4). Il rettangolo CB per BD è quindi uguale al quadrato su AB (Prop.6-17). Per gli stessi motivi anche il rettangolo BC per CD è uguale al quadrato su AC.
Poiché il triangolo ABC è simile al triangolo ABD, allora CB sta a BA come BA sta a BD (Prop.6-8-Cor). Il rettangolo CB per BD è quindi uguale al quadrato su AB (Prop.6-17). Per gli stessi motivi anche il rettangolo BC per CD è uguale al quadrato su AC.
Dico che anche il rettangolo BC per AD è uguale al rettangolo BA per AC.
Poiché come detto, ABC è simile a ABD, allora BC sta a CA come BA sta a AD (Prop.6-4). Il rettangolo BC per AD è quindi uguale al rettangolo BA per AC.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento BC
- Semicirconferenza per due punti: disegna la semicirconferenza di diametro AB
- Poligono: disegna il triangolo inscritto ABC
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare a BC passante per A
- Perpendicolare e Parallela: completa i due rettangoli BC per AD e AC per AB
Prop.33: Trovare due rette incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su di esse razionale ma il rettangolo da esse contenuto mediale
Dimostrazione
Siano fissate due rette razionali AB e BC commensurabili solo in potenza tali che il quadrato sulla maggiore AB sia maggiore del quadrato sulla minore BC per il quadrato sulla retta incommensurablie con AB (Prop.10-30).
Si sechi a metà BC in D. Si applichi ad AB un parallelogrammo uguale al quadrato su una o sull'altra delle rette BD, DC e facente difetto di una figura quadrata (Prop.6-28), e sia il rettangolo AE per EB. Si tracci il semicerchio AFB su AB, e si conduca EF ad angoli retti con AB, e si congiungano AF e FB.
Poiché AB e BC sono rette disuguali, e il quadrato su AB è maggiore del quadrato su BC per il quadrato su una retta incommensurabile con AB, ed è stato applicato ad AB un parallelogrammo uguale alla quarta parte del quadrato su BC, cioè a quello sulla sua metà, e facente difeto di una figura quadrata, e fa il rettangolo AE per EB, allora AE è incommensurabile con EB (Prop.10-18).
Ma AE sta a EB come il rettangolo BA per AE sta al rettangolo AB per BE e il rettangolo BA per AE è uguale al quadrato su AF, e il rettangolo AB per BE sta al quadrato su BF, allora il quadrato su AF è incommensurabile con il quadrato su FB. Pertanto AF e FB sono incommensurabili in potenza.
Poiché AB è razionale, allora anche il quadrato su AB è razionale, così che la somma dei quadrati su AF e FB è pure razionale (Prop.1-47). Di nuovo, poiché il rettangolo AE per EB è uguale al quadrato su EF, ed è stato supposto che anche il rettangolo AE per EB è uguale al quadrato su BD, allora FE è uguale a BD. Pertanto BC è doppio di FE, così che anche il rettangolo AB per BC è commensurabile con il rettangolo ABEF.
Ma il rettangolo AB per BC è mediale (Prop.10-21), pertanto anche il rettangolo AB per EF è mediale (Prop.10-23-Cor). Ma il rettangolo AB per EF è uguale al rettangolo AF per FB, pertanto anche il rettangolo AF per FB è mediale (Lemma). Ma è stato anche dimostrato che la somma dei quadrati su queste rette è razionale.
Risultano quindi trovate due rette incommensurabili in potenza AF, FB, che fanno la somma dei quadrati su di esse razionale ma il rettangolo da esse contenuto mediale.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AB e BC adiacenti
- Punto Medio: traccia il punto medio D di BC
- Semicirconferenza per due punti: disegna la semicirconferenza di diametro AB
- Punto: traccia il punto E sul segmento AB
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare a BA passante per E, che interseca la semicirconferenza in F
- Poligono: disegna il triangolo ABF