LIBRO X
Prop.23: Una retta commensurabile con una mediale è mediale
Dimostrazione
Sia una mediale A, e sia B commensurabile con A: dico che anche B è mediale.
Sia fissata una retta razionale CD. Si applichi a CD l'area rettangolare CE uguale al quadrato su A, che produce ED come larghezza. Allora ED è razionale e incommensurabile in lunghezza con CD. E si applichi a CD l'area rettangolare CF uguale al quadrato su B, che produce DF come larghezza (Prop.10-22).
Poiché A è commensurabile con B, allora anche il quadrato su A è commensurabile con il quadrato su B. Ma EC è uguale al quadrato su A, e CF è uguale al quadrato su B, pertanto EC è commensurabile con CF. Ma EC sta a CF come ED sta a DF (Prop.6-1), pertanto ED è commensurabile in lunghezza con DF (Prop.10-11).
Ma ED è razionale e incommensurabile in lunghezza con DC (Prop.10-13), pertanto anche DF è razionale e incommensurabile in lunghezza con DC (Def.10-3). CD e DF sono quindi razionali e commensurabili in potenza soltanto.
Ma la retta sulla quale il quadrato è uguale al rettangolo contenuto da rette razionali commensurabili soltanto in potenza, è mediale. Il lato del quadrato uguale al rettangolo CD per DF è quindi mediale (Prop.10-21). Ma B è il lato del quadrato uguale al rettangolo CD per DF, B è quindi mediale.
Corollario: Da questo è pertanto manifesto che un'area commensurabile con un'area mediale è mediale
Allo stesso modo dalle cose dette sulle razionali e mediali, segue che una retta commensurabile in lunghezza con una mediale è detta mediale e commensurabile con essa non solo in lunghezza ma anche in potenza, poiché, in generale, rette commensurabili in lunghezza sono sempre commensurabili anche in potenza. Ma, se una certa retta è commensurabile in potenza con una mediale, allora se è anche commensurabile in lunghezza con essa, le rette sono dette anche mediali e commensurabili in lunghezza e in potenza, ma, se lo sono solo in potenza, esse sono dette mediali commensurabile in potenza soltanto.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti A, B, CD
- Circonferenza di dato raggio: disegna la larghezza del rettangolo CE = AxA/CD
- Perpendicolare: completa il rettangolo CE
- Circonferenza di dato raggio: disegna la larghezza del rettangolo CF = BxB/CD
- Perpendicolare: completa il rettangolo CF
Questa proposizione è l'inversa della precedente. Il lemma introduce l'area mediale, cioè l'area del quadrato avente per lato la mediale, esprimibile come \(a\sqrt{b}\)