LIBRO X
Prop.21: Il rettangolo compreso da rette razionali commensurabili soltanto in potenza è irrazionale, e la retta, il cui quadrato sia ad esso uguale, è irrazionale: e si chiami mediale
Dimostrazione
Sia il rettangolo AC contenuto dalle rette razionali AB e BC commensurabili soltanto in potenza: dico che AC è irrazionale, e il lato del quadrato uguale ad esso è irrazionale, e sia quest'ultimo chiamato mediale.
Si descriva il quadrato AD su AB (Prop.1-46). Allora AD è razionale (Def.10-4).
E poiché AB è incommensurabile in lunghezza con BC, sono infatti stati supposti commensurabili solo in potenza, mentre AB è uguale a BD, allora anche DB è incommensurabile in lunghezza con BC.
Ma DB sta a BC come AD sta a AC (Prop.6-1), pertanto DA è incommensurabile con AC (Prop.10-11). Ma DA è razionale, pertanto AC è irrazionale, così che anche il lato del quadrato AC è irrazionale (Def.10-4), e sia chiamato mediale.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB
- Perpendicolare: costruisci il rettangolo di lati AB e BC
- Poligono regolare: disegna quadrato AD di lato AB
Questa proposizione è l'inversa della precedente. La mediale è la prima retta irrazionale introdotta in questo Libro. Essa è la media proporzionale tra due rette razionali, commensurabili sotanto in potenza (cioè con i quadrati su di esse commensurabili).
Se le due grandezze sono commensurabili sotanto in potenza, allora le possiamo indicare con \(a\) e \(\sqrt{b}\) (un quadrato non esatto). Il rettangolo avente queste come lati, ha area \(a\sqrt{b}\). Il quadrato ad esso equivalente, avrà il lato, cioè la media proporzionale, dato da \(\sqrt{a\sqrt{b}}\), essa è quindi soluzione dell'equazione biquadratica (trascurando le soluzioni negative)
\(x^4-a^2b=0\)