LIBRO X
Prop.20: Se un'area razionale è applicata ad una retta razionale, allora produce come larghezza una retta razionale e commensurabile in lunghezza con la retta alla quale è applicata
Dimostrazione
Sia un'area razionale AC applicata ad una retta razionale AB, di nuovo secondo una certa delle dette maniere, producendo BC come larghezza: dico che BC è razionale e commensurabile in lunghezza con BA.
Si descriva il quadrato AD su AB (Prop.1-46). Allora AD è razionale (Def.10-4).
Ma anche AC è razionale, pertanto DA è commensurabile con AC (Prop.6-1). Ma DA sta a AC come DB sta a BC. Anche DB è quindi commensurabile con BC, e DB è uguale a BA. Anche AB è quindi commensurabile con BC. DA è quindi commensurabile con AC (Prop.10-11).
Ma AB è razionale; anche BC è quindi razionale e commensurabile in lunghezza con AB.
Se quindi un'area razionale è applicata ad una retta razionale e quello che segue.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB
- Perpendicolare: costruisci il rettangolo di lati AB e BC
- Poligono regolare: disegna quadrato AD di lato AB
Questa proposizione è l'inversa della precedente.