LIBRO X
Prop.37: Se si sommano due rette mediali commensurabili solo in potenza e contententi un rettangolo razionale, allora quella totale è irrazionale; e sia chiamata la prima bimediale
Dimostrazione
Siano composte due rette mediali AB e BC commensurabili soltanto in potenza che comprendono un rettangolo razionale: dico che AC totale è irrazionale.
Poiché AB è incommensurabile in lunghezza con BC, allora anche la somma dei quadrati su AB e BC è incommensurabile con il doppio del rettangolo AB per BC (Prop.10-36), e, presi congiuntamente, la somma dei quadrati su AB e BC insieme con il doppio del rettangolo AB per BC, cioè, il quadrato su AC (Prop.2-4), è incommensurabile con il rettangolo AB per BC (Prop.10.16).
Ma il rettangolo AB per BC è razionale, infatti è stato supposto che AB e BC sono rette contenenti un rettangolo razionale, allora il quadrato su AC è irrazionale. AC è quindi irrazionale. E sia chiamata retta prima bimediale (Def.10-4).
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AB e BC adiacenti
Questa proposizione trova numerose applicazioni nel Libro X. In questo caso, è la somma di due rette mediali che comprendono un'area razionale, che genera una retta irrazionale. Tale retta è detta bimediale prima. Possiamo rappresentare algebricamente una tale retta come \[\sqrt{a\sqrt{b}}\]