LIBRO X
Prop.38: Se si sommano due rette mediali commensurabili solo in potenza e contenenti un rettangolo mediale, allora quella totale è irrazionale; e sia chiamata la bimediale seconda
Dimostrazione
Siano composte due rette mediali AB e BC commensurabili soltanto in potenza che comprendono un rettangolo mediale: dico che AC totale è irrazionale.
Si fissi una retta razionale DE, e si applichi a DE un parallelogrammo DF uguale al quadrato su AC, che produce DG come larghezza (Prop.1-41).
Poiché il quadrato su AC è uguale sia alla somma dei quadrati su AB e BC sia al doppio del rettangolo AB per BC, si applichi pertanto ad AE un parallelogrammo EH, uguale alla somma dei quadrati su AB e BC. Allora il restante HF è uguale al doppio del rettangolo AB per BC (Prop.2-4).
Poiché ognuna delle rette AB e BC è mediale, allora anche i quadrati su AB e BC sono mediali. Ma è stato supposto che anche il doppio del rettangolo AB per BC è mediale. Ma EH è uguale alla somma dei quadrati su AB e BC, mentre FH è uguale al doppio del rettangolo AB per BC, pertanto ognuno dei rettangoli EH e HF è mediale.
Ed essi sono applicati alla retta razionale DE, pertanto ognuna delle rette DH e HG è razionale e incommensurabile in lunghezza con DE (Prop.10-22). Poiché AB è incommensurabile in lunghezza con BC, e AB sta a BC come il quadrato su AB sta al rettangolo AB per BC, allora il quadrato su AB è incommensurabile con il rettangolo AB per BC (Prop.10-11).
Ma la somma dei quadrati su AB e BC è commensurabile con il quadrato su AB (Prop.10-15), e il doppio del rettangolo AB per BC è commensurabile con il rettangolo AB per BC (Prop.10-6). Pertanto la somma dei quadrati su AB e BC è incommensurabile con il doppio del rettangolo AB per BC (Prop.10-13).
Ma EH è uguale alla somma dei quadrati su AB e BC, e HF è uguale al doppio del rettangolo AB per BC. Pertanto EH è incommensurabile con HF, così che anche DH è incommensurabile in lunghezza con HG (Prop.10-11). DH e HG sono quindi rette razionali commensurabili soltanto in potenza, così che DG è irrazionale (Prop.10-36).
Ma DE è razionale, e il rettangolo compreso da una retta irrazionale e una razionale è irrazionale, l'area DF è quindi irrazionale, e il lato del quadrato uguale al essa è irrazionale (Prop.10-20). Ma AC è il lato del quadrato uguale a DF, pertanto AC è irrazionale. Sia chiamata una bimediale seconda.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AB e BC adiacenti e DE
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento DG = ACxAC/DE
- Perpendicolare: completa i vertici del rettangolo DF
- Poligono: disegna il rettangolo DF
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento DH = (ABxAB+BCxBC)/DE
- Perpendicolare: completa il vertice del rettangolo EH
- Poligono: disegna il rettangolo EH
Questa proposizione utilizza il ben noto prodotto notevole \((a+b)^2\) (quadrato di una somma) distinguendolo dalla somma dei due quadrati \(a^2+b^2\). La differenza tra i due è infatti il doppio del rettangolo \(ab\).
